Superficie de velocidad cero

La superficie de velocidad cero es un concepto que se relaciona con el problema de la gravedad de N cuerpos . Representa una superficie que un cuerpo de determinada energía no puede cruzar, ya que tendría velocidad cero en la superficie. Fue introducido por primera vez por George William Hill . ^[1] La superficie de velocidad cero es particularmente significativa cuando se trabaja con interacciones gravitacionales débiles entre cuerpos en órbita .

En el problema circular restringido de tres cuerpos, dos masas pesadas se orbitan entre sí a una distancia radial y una velocidad angular constantes, y una partícula de masa despreciable se ve afectada por su gravedad. Al cambiar a un sistema de coordenadas giratorio donde las masas están estacionarias, se introduce una fuerza centrífuga. La energía y el momento no se conservan por separado en este sistema de coordenadas, pero la integral de Jacobi permanece constante:

donde es la tasa de rotación, la ubicación de la partícula en el sistema de coordenadas de rotación, las distancias a los cuerpos y sus masas multiplicadas por la constante gravitacional. ^[2]${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle x, y}$${\ Displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$${\ Displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2}}$

Para un valor dado de , puntos en la superficie ${\ Displaystyle C}$

requiera eso . Es decir, la partícula no podrá cruzar esta superficie (ya que la velocidad al cuadrado tendría que volverse negativa). Ésta es la superficie de velocidad cero del problema. ^[3]${\ Displaystyle {\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} = 0}$

Tenga en cuenta que esto significa velocidad cero en el marco giratorio: en un marco no giratorio, se considera que la partícula gira con los otros cuerpos. La superficie también solo predice qué regiones no se pueden ingresar, no la forma de la trayectoria dentro de la superficie. ^[2]

Constante de Jacobi, superficie y curva de velocidad cero

Una trayectoria (roja) en el problema circular plano de tres cuerpos restringido que orbita el cuerpo más pesado varias veces antes de escapar a una órbita alrededor del cuerpo más ligero. Los contornos denotan valores de la integral de Jacobi. La región azul oscuro es una región excluida de la trayectoria, encerrada por una superficie de velocidad cero que no se puede cruzar.