Cero de una función

Element of the domain where function's value is zero

La "raíz polinomial" vuelve a dirigir aquí. Para encontrar raíces de polinomios, consulte Búsqueda de raíces de polinomios . Para obtener propiedades avanzadas, consulte Propiedades de raíces polinomiales .

"Raíz de una función" vuelve a dirigir aquí. Para la mitad de una iteración de una función, consulte Raíz cuadrada funcional .

"Ajuste cero" vuelve a dirigir aquí. Para el álbum musical, consulte Zero Set .

En matemáticas , un cero (también llamado a veces raíz ) de una función real , compleja o generalmente con valores vectoriales , es un miembro del dominio de tal que desaparece en ; es decir, la función alcanza el valor de 0 en , ^[1] o de manera equivalente, es la solución de la ecuación . ^[2] Un "cero" de una función es, por tanto, un valor de entrada que produce una salida de 0. ^[3]${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=0}$

Una raíz de un polinomio es un cero de la función polinomial correspondiente . ^[2] El teorema fundamental del álgebra muestra que cualquier polinomio distinto de cero tiene un número de raíces como máximo igual a su grado , y que el número de raíces y el grado son iguales cuando se consideran las raíces complejas (o más generalmente, el raíces en una extensión algebraicamente cerrada ) contados con sus multiplicidades . ^[4] Por ejemplo, el polinomio de grado dos, definido por ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6}$

tiene las dos raíces y , como${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$

${\displaystyle f(2)=2^{2}-5\cdot 2+6=0\quad {\textrm {and}}\quad f(3)=3^{2}-5\cdot 3+6=0}$.

Si la función asigna números reales a números reales, entonces sus ceros son las coordenadas de los puntos donde su gráfica se encuentra con el eje x . Un nombre alternativo para tal punto en este contexto es una intersección.${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,0)}$${\displaystyle x}$

Solución de una ecuación

Cada ecuación en lo desconocido puede reescribirse como${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x)=0}$

reagrupando todos los términos en el lado izquierdo. De ello se deduce que las soluciones de tal ecuación son exactamente los ceros de la función . En otras palabras, un "cero de una función" es precisamente una "solución de la ecuación obtenida al igualar la función a 0", y el estudio de ceros de funciones es exactamente lo mismo que el estudio de soluciones de ecuaciones.${\displaystyle f}$

Raíces polinomiales

Artículo principal: Propiedades de las raíces polinomiales.

Todo polinomio real de grado impar tiene un número impar de raíces reales (contando multiplicidades ); Asimismo, un polinomio real de grado par debe tener un número par de raíces reales. En consecuencia, los polinomios impares reales deben tener al menos una raíz real (porque el número entero impar más pequeño es 1), mientras que los polinomios pares pueden no tener ninguna. Este principio se puede probar haciendo referencia al teorema del valor intermedio : dado que las funciones polinomiales son continuas , el valor de la función debe cruzar cero, en el proceso de cambio de negativo a positivo o viceversa (lo que siempre ocurre para funciones impares).

Teorema fundamental del álgebra

Artículo principal: Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado tiene raíces complejas, contadas con sus multiplicidades. Las raíces no reales de polinomios con coeficientes reales vienen en pares conjugados . ^[3] Las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes de un polinomio con las sumas y productos de sus raíces.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Computación de raíces

Artículos principales: el algoritmo de búsqueda de raíz , aislamiento real de la raíz , y resolviendo la ecuación

Calcular raíces de funciones, por ejemplo funciones polinomiales , frecuentemente requiere el uso de técnicas especializadas o de aproximación (por ejemplo, el método de Newton ). Sin embargo, algunas funciones polinomiales, incluidas todas las de grado no mayor de 4, pueden tener todas sus raíces expresadas algebraicamente en términos de sus coeficientes (para más información, ver solución algebraica ).

Puesta a cero

En varias áreas de las matemáticas, el conjunto de ceros de una función es el conjunto de todos sus ceros. Más precisamente, si es una función de valor real (o, más generalmente, una función que toma valores en algún grupo aditivo ), su conjunto cero es , la imagen inversa de in .${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}(0)}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X}$

El término conjunto de ceros se usa generalmente cuando hay infinitos ceros y tienen algunas propiedades topológicas no triviales . Por ejemplo, un conjunto de niveles de una función es el conjunto cero de . El conjunto cozero de es el complemento del conjunto cero de (es decir, el subconjunto de sobre el cual es distinto de cero).${\displaystyle f}$${\displaystyle f-c}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

Aplicaciones

En geometría algebraica , la primera definición de una variedad algebraica es a través de conjuntos de ceros. Específicamente, un conjunto algebraico afín es la intersección de los conjuntos cero de varios polinomios, en un anillo polinomial sobre un campo . En este contexto, un conjunto de ceros a veces se denomina locus cero .${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$

En análisis y geometría , cualquier subconjunto cerrado de es el conjunto cero de una función suave definida en todos . Esto se extiende a cualquier variedad suave como corolario de la paracompactancia . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En geometría diferencial , los conjuntos de ceros se utilizan con frecuencia para definir colectores . Un caso especial importante es el caso de una función suave de a . Si cero es un valor regular de , entonces el conjunto cero de es una variedad suave de dimensión según el teorema del valor regular .${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle m=p-n}$

Por ejemplo, la unidad - esfera en es el conjunto cero de la función de valor real .${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$${\displaystyle f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1}$

Ver también

• Teorema de marden
• Algoritmo de búsqueda de raíces
• Conjetura de Sendov
• Desaparecer en el infinito
• No hay paso
• Ceros y polos

Referencias

1. "El glosario definitivo de jerga matemática superior - Desaparecer" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
2. "Álgebra - ceros / raíces de polinomios" . tutorial.math.lamar.edu . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
3. Foerster, Paul A. (2006). Álgebra y trigonometría: funciones y aplicaciones, edición del maestro (Classics ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . pag. 535 . ISBN 0-13-165711-9.
4. "Raíces y ceros (álgebra 2, funciones polinomiales)" . Mathplanet . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .

Lectura adicional

• Weisstein, Eric W. "Root" . MathWorld .