En geometría diferencial , una variedad de Riemann o espacio de Riemann ( M , g ) es una variedad real y suave M equipada con un producto interno positivo-definido g p en el espacio tangente T p M en cada punto p . Una convención común es tomar g como suave, lo que significa que para cualquier gráfico de coordenadas suaves ( U , x ) en M , el n 2 funciones
son funciones suaves . De la misma manera, también se podrían considerar métricas Riemannianas de Lipschitz o métricas Riemannianas medibles , entre muchas otras posibilidades.
La familia g p de productos internos se llama métrica de Riemann (o tensor métrico de Riemann) . Estos términos llevan el nombre del matemático alemán Bernhard Riemann . El estudio de las variedades riemannianas constituye el tema llamado geometría riemanniana .
Una métrica de Riemann (tensor) permite definir varias nociones geométricas en una variedad de Riemann, como el ángulo en una intersección, la longitud de una curva , el área de una superficie y análogos de dimensiones superiores ( volumen , etc.), la curvatura extrínseca de subvariedades y curvatura intrínseca de la propia variedad.
Introducción
En 1828, Carl Friedrich Gauss demostró su Theorema Egregium ( teorema notable en latín), estableciendo una propiedad importante de las superficies. De manera informal, el teorema dice que la curvatura de una superficie se puede determinar por completo midiendo distancias a lo largo de trayectorias en la superficie. Es decir, la curvatura no depende de cómo la superficie pueda estar incrustada en un espacio tridimensional. Consulte Geometría diferencial de superficies . Bernhard Riemann extendió la teoría de Gauss a espacios de dimensiones superiores llamados variedades de una manera que también permite medir distancias y ángulos y definir la noción de curvatura, nuevamente de una manera que es intrínseca a la variedad y no depende de su incrustación en espacios de dimensiones superiores. Albert Einstein utilizó la teoría de las variedades pseudo-riemannianas (una generalización de las variedades riemannianas) para desarrollar su teoría general de la relatividad . En particular, sus ecuaciones para la gravitación son restricciones sobre la curvatura del espacio-tiempo.
Definición
El haz tangente de una variedad suave asigna a cada punto de un espacio vectorial llamado el espacio tangente de a Una métrica de Riemann (por su definición) asigna a cada un producto interior positivo-definido junto con lo cual viene una norma definido por El colector liso dotado de esta métrica es una variedad de Riemann , denotada.
Cuando se le da un sistema de coordenadas locales suaves en dada por funciones de valor real los vectores
forman una base del espacio vectorial para cualquier En relación con esta base, se pueden definir "componentes" del tensor métrico en cada punto por
Uno podría considerar estos como funciones individuales o como soltero función con valores de matriz en tenga en cuenta que la suposición "riemanniana" dice que se valora en el subconjunto que consiste en matrices simétricas positivas definidas.
En términos de álgebra tensorial , el tensor métrico se puede escribir en términos de la base dual {d x 1 , ..., d x n } del paquete cotangente como
Isometrías
Si y son dos variedades de Riemann, con un difeomorfismo , entoncesse llama isometría si es decir, si
para todos y
Uno dice que un mapa no se asume que sea un difeomorfismo, es una isometría local si cada tiene un vecindario abierto tal que es un difeomorfismo y una isometría.
Regularidad de una métrica de Riemann
Se dice que la métrica de Riemann es continuo si son continuos cuando se les da cualquier gráfico de coordenadas suaves Uno dice que es suave si estas funciones son suaves cuando se le da cualquier gráfico de coordenadas suave. También se podrían considerar muchos otros tipos de métricas riemannianas con este espíritu.
En la mayoría de los relatos expositivos de la geometría riemanniana, las métricas siempre se consideran suaves. Sin embargo, puede haber razones importantes para considerar métricas que son menos fluidas. Las métricas riemannianas producidas por métodos de análisis geométrico , en particular, pueden ser menos que fluidas. Véanse, por ejemplo, (Gromov 1999) y (Shi y Tam 2002).
Descripción general
A continuación se comentarán ejemplos de variedades de Riemann. Un famoso teorema de John Nash establece que, dada cualquier variedad riemanniana suave hay un número (generalmente grande) y una incrustación tal que el retroceso por de la métrica estándar de Riemann en es De manera informal, la estructura completa de una variedad riemanniana suave puede ser codificada por un difeomorfismo a una cierta subvariedad incrustada de algún espacio euclidiano. En este sentido, es discutible que no se pueda ganar nada con la consideración de variedades suaves abstractas y sus métricas riemannianas. Sin embargo, hay muchas variedades naturales suaves de Riemann, como el conjunto de rotaciones del espacio tridimensional y el espacio hiperbólico , de las cuales cualquier representación como una subvariedad del espacio euclidiano fallará en representar sus notables simetrías y propiedades tan claramente como su resumen. las presentaciones hacen.
Ejemplos de
Espacio euclidiano
Dejar denotar las coordenadas estándar en Entonces define por
Expresado de manera diferente: en relación con las coordenadas estándar, la representación local viene dado por el valor constante
Esta es claramente una métrica de Riemann, y se llama la estructura estándar de Riemann en También se conoce como espacio euclídeo de dimensión n y g ij puede también se llama el (canónico) métrica euclidiana .
Sub-colectores empotrados
Dejar ser una variedad riemanniana y dejar ser una subvariedad incrustada de que es al menos A continuación, la restricción de g a vectores tangente a lo largo de N define una métrica de Riemann sobre N .
- Por ejemplo, considere que es una subvariedad incrustada suave del espacio euclidiano con su métrica estándar. La métrica de Riemann que esto induce ase llama métrica estándar o métrica canónica en
- Hay muchos ejemplos similares. Por ejemplo, cada elipsoide entiene una métrica de Riemann natural. El gráfico de una función suave es una subvariedad incrustada y, por lo tanto, también tiene una métrica de Riemann natural.
Inmersiones
Dejar ser una variedad riemanniana y dejar ser un mapa diferenciable. Entonces uno puede considerar el retroceso de vía , que es un tensor 2 simétrico en definido por
dónde es el empujón de por
En este entorno, generalmente no será una métrica de Riemann en ya que no es positivo-definido. Por ejemplo, si es constante, entonces es cero. De echo, es una métrica de Riemann si y solo si es una inmersión , lo que significa que el mapa lineal es inyectable para cada
- Un ejemplo importante ocurre cuando no está simplemente conectado, por lo que hay un mapa de cobertura Se trata de una inmersión, por lo que la cobertura universal de cualquier variedad de Riemann hereda automáticamente una métrica de Riemann. De manera más general, pero por el mismo principio, cualquier espacio de cobertura de una variedad de Riemann hereda una métrica de Riemann.
- Además, una subvariedad sumergida de una variedad de Riemann hereda una métrica de Riemann.
Métricas de producto
Dejar y ser dos variedades de Riemann, y considerar el producto cartesiano con la estructura lisa del producto habitual. Las métricas de Riemann y naturalmente pon una métrica riemanniana en que se puede describir de varias formas.
- Considerando la descomposición uno puede definir
- Dejar ser un gráfico de coordenadas suave en y deja ser un gráfico de coordenadas suave en Luego es un gráfico de coordenadas uniforme en Por conveniencia, deje denotar la colección de simétricos positivos definidos matrices reales. Denote la representación de coordenadas de relativo a por y denotar la representación de coordenadas de relativo a por Entonces la representación de coordenadas locales de relativo a es dada por
Un ejemplo estándar es considerar el n-toro definir como el producto n-veces Si uno da cada copia de su métrica estándar de Riemann, considerando como una subvariedad incrustada (como arriba), entonces se puede considerar la métrica de Riemann del producto en Se llama toro plano .
Combinaciones convexas de métricas
Dejar y ser dos métricas riemannianas en Entonces, para cualquier número
es también una métrica de Riemann en De manera más general, si y son dos números positivos cualesquiera, entonces es otra métrica de Riemann.
Cada colector suave tiene una métrica de Riemann.
Este es un resultado fundamental. Aunque gran parte de la teoría básica de la métrica de Riemann se puede desarrollar utilizando únicamente que una variedad suave es localmente euclidiana, para este resultado es necesario incluir en la definición de "variedad suave" que es Hausdorff y paracompacta. La razón es que la prueba hace uso de una partición de unidad .
Sea M una variedad diferenciable y {( U α , φ α ) | α ∈ I } un atlas localmente finito de subconjuntos abiertos U α de M y difeomorfismos en subconjuntos abiertos de R n
Sea { τ α } α ∈ I una partición diferenciable de unidad subordinada al atlas dado.
Luego defina la métrica g en M por
donde g can es la métrica euclidiana en R n yes su retroceso a lo largo de φ β .
Esto se ve fácilmente ser una métrica de M .
La estructura espacial métrica de las variedades riemannianas conectadas de forma continua
La longitud de las curvas diferenciables continuamente por partes
Si es diferenciable, luego se asigna a cada un vector en el espacio vectorial cuyo tamaño se puede medir por la norma Entonces define una función no negativa en el intervalo La longitud se define como la integral de esta función; sin embargo, como se presenta aquí, no hay razón para esperar que esta función sea integrable. Es típico suponer que g es continuo y ser continuamente diferenciable, de modo que la función a integrar sea no negativa y continua, y por lo tanto la longitud de
está bien definido. Esta definición se puede ampliar fácilmente para definir la longitud de cualquier curva diferenciable continuamente por partes.
En muchos casos, como al definir el tensor de curvatura de Riemann , es necesario exigir que g tenga más regularidad que mera continuidad; esto se discutirá en otra parte. Por ahora, la continuidad de g será suficiente para utilizar la longitud definida anteriormente para dotar a M de la estructura de un espacio métrico , siempre que esté conectado.
La estructura del espacio métrico
Precisamente, definir por
La mayor parte de las veces es sencillo comprobar si la función está bien definida su propiedad de simetría su propiedad de reflexividad y la desigualdad triangular aunque existen algunas complicaciones técnicas menores (como verificar que dos puntos cualesquiera puedan estar conectados por una ruta diferenciable por partes). Es más fundamental entender que asegura y de ahí que satisface todos los axiomas de una métrica.
(Bosquejado) Prueba de que implica |
Brevemente: debe haber algún conjunto abierto precompacto alrededor de p del que debe escapar toda curva desde p hasta q . Al seleccionar este conjunto abierto para que se incluya en un gráfico de coordenadas, se puede reducir la afirmación al hecho bien conocido de que, en la geometría euclidiana, la curva más corta entre dos puntos es una línea. En particular, como se ve en la geometría euclidiana de un gráfico de coordenadas alrededor de p , cualquier curva desde p hasta q debe pasar primero a través de un cierto "radio interior". La supuesta continuidad de la métrica riemanniana g sólo permite que esta "geometría de gráfico de coordenadas" distorsione la "geometría verdadera" por algún factor acotado. Para ser precisos, dejemos ser un gráfico de coordenadas suave con y Dejar ser un subconjunto abierto de con Por continuidad de y compacidad de hay un numero positivo tal que para cualquier y cualquier dónde denota la norma euclidiana inducida por las coordenadas locales. Deje que R denote para ser utilizado en el paso final de la prueba. Ahora, dado cualquier camino diferenciable continuamente por partes de p a q , debe haber un mínimo tal que claramente El largo de es al menos tan grande como la restricción de a Entonces La integral que aparece aquí representa la longitud euclidiana de una curva de 0 a , Y por lo que es mayor que o igual a R . Entonces concluimos |
La observación que subyace a la prueba anterior, sobre la comparación entre las longitudes medidas por gy las longitudes euclidianas medidas en un gráfico de coordenadas suaves, también verifica que la topología espacial métrica de coincide con la estructura espacial topológica original de
Aunque la longitud de una curva viene dada por una fórmula explícita, generalmente es imposible escribir la función de distancia por cualquier medio explícito. De hecho, sies compacto entonces, incluso cuando g es suave, siempre existen puntos donde no es diferenciable, y puede ser muy difícil incluso determinar la ubicación o la naturaleza de estos puntos, incluso en casos aparentemente simples, como cuando es un elipsoide.
Geodésicas
Como en la sección anterior, deje ser una variedad riemanniana conectada y continua; considere el espacio métrico asociado En relación con esta estructura espacial métrica, se dice que un camino es una geodésica de velocidad unitaria si para cada existe un intervalo que contiene y tal que
De manera informal, se puede decir que se está pidiendo localmente "estirarse" tanto como pueda, sujeto a la restricción de velocidad unitaria (considerada informalmente). La idea es que si es (por partes) continuamente diferenciable y para todos entonces uno tiene automáticamente aplicando la desigualdad del triángulo a una aproximación de suma de Riemann de la integral que define la longitud de Entonces, la condición geodésica de velocidad unitaria como se indica arriba requiere y estar lo más lejos posible el uno del otro. El hecho de que solo busquemos curvas que se extiendan localmente se refleja en los dos primeros ejemplos que se dan a continuación; la forma global de puede obligar incluso a las geodésicas más inocuas a doblarse hacia atrás y cruzarse.
- Considere el caso de que es el circulo con su métrica estándar de Riemann, y es dado por Recordar que se mide por las longitudes de las curvas a lo largo , no por las trayectorias en línea recta en el plano. Este ejemplo también muestra la necesidad de seleccionar el subintervalo desde la curva se repite sobre sí mismo de una manera particularmente natural.
- Asimismo, si es la esfera redonda con su métrica estándar de Riemann, entonces una trayectoria de velocidad unitaria a lo largo de un círculo ecuatorial será una geodésica. Una ruta de velocidad unitaria a lo largo de los otros círculos latitudinales no será geodésica.
- Considere el caso de que es con su métrica estándar de Riemann. Luego, una línea de velocidad unitaria como es una geodésica pero la curva del primer ejemplo anterior no lo es.
Tenga en cuenta que las geodésicas de velocidad unitaria, como se definen aquí, son por necesidad continuas, y de hecho Lipschitz , pero no son necesariamente diferenciables o diferenciables por partes.
El teorema de Hopf-Rinow
Como arriba, deja ser una variedad riemanniana conectada y continua. El teorema de Hopf-Rinow , en este contexto, dice que (Gromov 1999)
- si el espacio métrico está completo (es decir, cada-La secuencia de Cauchy converge) luego
- cada subconjunto cerrado y acotado de es compacto.
- dado cualquier hay una unidad geodésica de velocidad de a tal que para todos
La esencia de la demostración es que una vez establecida la primera mitad, se puede aplicar directamente el teorema de Arzelà-Ascoli , en el contexto del espacio métrico compacto. a una secuencia de curvas de velocidad unitaria diferenciables continuamente por partes de a cuyas longitudes se aproximan El límite subsecuente resultante es la geodésica deseada.
La supuesta integridad de es importante. Por ejemplo, considere el caso de quees el plano pinchado con su métrica estándar de Riemann, y uno toma y No hay geodésicas de velocidad unitaria de una a otra.
El diámetro
Dejar ser una variedad riemanniana conectada y continua. Como con cualquier espacio métrico, se puede definir el diámetro de ser - estar
El teorema de Hopf-Rinow muestra que si está completo y tiene un diámetro finito, entonces es compacto. Por el contrario, si es compacto, entonces la función tiene un máximo, ya que es una función continua en un espacio métrico compacto. Esto prueba la siguiente afirmación:
- Si está completo, entonces es compacto si y solo si tiene un diámetro finito.
Este no es el caso sin el supuesto de integridad; para contraejemplos se podría considerar cualquier subconjunto acotado abierto de un espacio euclidiano con la métrica estándar de Riemann.
Tenga en cuenta que, de manera más general, y con la misma prueba de una línea, cada espacio métrico compacto tiene un diámetro finito. Sin embargo, la siguiente afirmación es falsa : "Si un espacio métrico está completo y tiene un diámetro finito, entonces es compacto". Para obtener un ejemplo de un espacio métrico completo y no compacto de diámetro finito, considere
con la métrica uniforme
Entonces, aunque todos los términos en el corolario anterior del teorema de Hopf-Rinow involucran solo la estructura espacial métrica de es importante que la métrica se induzca a partir de una estructura riemanniana.
Métricas de Riemann
Completitud geodésica
Una variedad Riemanniana M es geodésicamente completa si para todo p ∈ M , el mapa exponencial exp p se define para todo v ∈ T p M , es decir, si cualquier γ ( t ) geodésico a partir de p se define para todos los valores del parámetro t ∈ R . El teorema de Hopf-Rinow afirma que M es geodésicamente completo si y solo si está completo como un espacio métrico .
Si M es completo, entonces M no es extensible en el sentido de que no es isométrico a una subvariedad propia abierta de cualquier otra variedad de Riemann. Sin embargo, lo contrario no es cierto: existen variedades no ampliables que no están completas.
Ver también
- Geometría riemanniana
- Colector de Finsler
- Colector sub-riemanniano
- Variedad pseudo-riemanniana
- Tensor métrico
- Colector hermitiano
- Espacio (matemáticas)
- Ecuación de mapas de ondas
Referencias
- Lee, John M. (2018). Introducción a los colectores de Riemann . Springer-Verlag . ISBN 978-3-319-91754-2.
- do Carmo, Manfredo (1992). Geometría riemanniana . Basilea: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3490-2.
- Gromov, Misha (1999). Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos (basado en la edición original francesa de 1981). Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA. ISBN 0-8176-3898-9.
- Jost, Jürgen (2008). Geometría y análisis geométrico de Riemann (5ª ed.). Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77340-5.
- Shi, Yuguang; Tam, Luen-Fai (2002). "Teorema de masa positiva y los comportamientos de frontera de variedades compactas con curvatura escalar no negativa". J. Geom diferencial . 62 (1): 79-125.
enlaces externos
- LA Sidorov (2001) [1994], "Métrica de Riemann" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press