Cálculo vectorial

Cálculo de funciones con valores vectoriales

No confundir con cálculo geométrico o cálculo matricial .

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Cálculo
Teorema fundamental Regla integral de Leibniz Límites de funciones Continuidad Teorema del valor medio Teorema de rolle
Diferencial Definiciones Derivado  ( generalizaciones ) Diferencial infinitesimal de una función total Conceptos Notación de diferenciación Segunda derivada Diferenciación implícita Diferenciación logarítmica Tarifas relacionadas Teorema de Taylor Reglas e identidades Suma Producto Cadena Energía Cociente Regla de L'Hôpital Inverso General Leibniz La fórmula de Faà di Bruno
Integral Listas de integrales Transformada integral Definiciones Antiderivada Integral  ( inadecuado ) Integral de Riemann Integración de Lebesgue Integración de contorno Integral de funciones inversas Integración por Partes Discos Carcasas cilíndricas Sustitución  ( trigonométrica , Weierstrass , Euler ) Fórmula de Euler Fracciones parciales Cambio de orden Fórmulas de reducción Diferenciar bajo el signo integral Algoritmo de Risch
Serie Geométrico  ( aritmético-geométrico ) Armónico Alterno Energía Binomio Taylor Pruebas de convergencia Límite de suma (prueba temporal) Proporción Raíz Integral Comparación directa Límite de comparación Serie alternante Condensación de Cauchy Dirichlet Abel
Vector Degradado Divergencia Rizo Laplaciano Derivado direccional Identidades Teoremas Degradado Verduras Stokes ' Divergencia Stokes generalizado
Multivariable Formalismos Matriz Tensor Exterior Geométrico Definiciones Derivada parcial Integral múltiple Integral de línea Integral de superficie Integral de volumen Jacobiano arpillera
Especializado Fraccionario Malliavin Estocástico Variaciones
Diverso Precálculo Historia Glosario Lista de temas Abeja de integración
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El cálculo vectorial , o análisis vectorial , se ocupa de la diferenciación e integración de campos vectoriales , principalmente en el espacio euclidiano tridimensional. El término "cálculo vectorial" se utiliza a veces como sinónimo del tema más amplio del cálculo multivariable , que también incluye el cálculo vectorial. como diferenciación parcial e integración múltiple . El cálculo vectorial juega un papel importante en la geometría diferencial y en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales . Se utiliza ampliamente en física e ingeniería.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$, especialmente en la descripción de campos electromagnéticos , campos gravitacionales y flujo de fluidos .

El cálculo de vectores fue desarrollado a partir del análisis de cuaterniones por J. Willard Gibbs y Oliver Heaviside cerca del final del siglo XIX, y la mayor parte de la notación y la terminología fueron establecidas por Gibbs y Edwin Bidwell Wilson en su libro de 1901, Vector Analysis . En la forma convencional que usa productos cruzados , el cálculo vectorial no se generaliza a dimensiones más altas, mientras que el enfoque alternativo del álgebra geométrica que usa productos exteriores sí lo hace (ver § Generalizaciones a continuación para obtener más información).

Objetos básicos

Campos escalares

Artículo principal: campo escalar

Un campo escalar asocia un valor escalar a cada punto de un espacio. El escalar es un número matemático que representa una cantidad física . Ejemplos de campos escalares en aplicaciones incluyen la distribución de temperatura en todo el espacio, la distribución de presión en un fluido y campos cuánticos de espín cero (conocidos como bosones escalares ), como el campo de Higgs . Estos campos son el tema de la teoría de campos escalares .

Campos vectoriales

Artículo principal: campo vectorial

Un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto de un espacio . ^[1] Un campo vectorial en el plano, por ejemplo, se puede visualizar como una colección de flechas con una magnitud y dirección determinadas, cada una de las cuales está unida a un punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y dirección de un fluido en movimiento por el espacio, o la fuerza y ​​dirección de alguna fuerza , como la fuerza magnética o gravitacional , a medida que cambia de un punto a otro. Esto se puede utilizar, por ejemplo, para calcular el trabajo realizado sobre una línea.

Vectores y pseudovectores

En tratamientos más avanzados, se distingue aún más los campos pseudovectores y los campos pseudoescalares , que son idénticos a los campos vectoriales y los campos escalares, excepto que cambian de signo bajo un mapa de inversión de orientación: por ejemplo, el rizo de un campo vectorial es un campo pseudovectorial, y si uno refleja un campo vectorial, el rizo apunta en la dirección opuesta. Esta distinción se aclara y elabora en álgebra geométrica , como se describe a continuación.

Álgebra vectorial

Artículo principal: Vector euclidiano § Propiedades básicas

Las operaciones algebraicas (no diferenciales) en el cálculo vectorial se conocen como álgebra vectorial , se definen para un espacio vectorial y luego se aplican globalmente a un campo vectorial. Las operaciones algebraicas básicas consisten en: ^[2]

Notaciones en cálculo vectorial

Operación	Notación	Descripción
Suma de vectores	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}}$	Suma de dos vectores, obteniendo un vector.
Multiplicación escalar	${\displaystyle a\mathbf {v} }$	Multiplicación de un escalar y un vector, obteniendo un vector.
Producto escalar	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}$	Multiplicación de dos vectores, obteniendo un escalar.
Producto cruzado	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}}$	Multiplicación de dos vectores en , dando un (pseudo) vector.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

También se utilizan comúnmente los dos productos triples :

Productos triples de cálculo vectorial

Operación	Notación	Descripción
Producto triple escalar	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	Producto escalar del producto cruzado de dos vectores.
Vector triple producto	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	El producto cruzado del producto cruzado de dos vectores.

Operadores y teoremas

Artículo principal: Identidades de cálculo vectorial

Operadores diferenciales

Artículos principales: Gradiente , Divergencia , Curl (matemáticas) y Laplaciano

El cálculo vectorial estudia varios operadores diferenciales definidos en campos escalares o vectoriales, que normalmente se expresan en términos del operador del ( ), también conocido como "nabla". Los tres operadores vectoriales básicos son: ^{[3] [4]}${\displaystyle \nabla }$

Operadores diferenciales en cálculo vectorial

Operación	Notación	Descripción	Analogía de notación	Rango de dominio
Degradado	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	Mide la velocidad y la dirección del cambio en un campo escalar.	Multiplicación escalar	Asigna campos escalares a campos vectoriales.
Divergencia	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	Mide el escalar de una fuente o sumidero en un punto dado en un campo vectorial.	Producto escalar	Asigna campos vectoriales a campos escalares.
Rizo	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	Mide la tendencia a rotar alrededor de un punto en un campo vectorial en formato .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	Producto cruzado	Asigna campos vectoriales a (pseudo) campos vectoriales.
f denota un campo escalar y F denota un campo vectorial

También se utilizan comúnmente los dos operadores de Laplace:

Operadores de Laplace en cálculo vectorial

Operación	Notación	Descripción	Rango de dominio
Laplaciano	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	Mide la diferencia entre el valor del campo escalar con su promedio en bolas infinitesimales.	Mapas entre campos escalares.
Vector Laplaciano	${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}$	Mide la diferencia entre el valor del campo vectorial con su promedio en bolas infinitesimales.	Mapas entre campos vectoriales.
f denota un campo escalar y F denota un campo vectorial

Una cantidad llamada matriz jacobiana es útil para estudiar funciones cuando tanto el dominio como el rango de la función son multivariables, como un cambio de variables durante la integración.

Teoremas integrales

Los tres operadores vectoriales básicos tienen teoremas correspondientes que generalizan el teorema fundamental del cálculo a dimensiones superiores:

Teoremas integrales del cálculo vectorial

Teorema	Declaración	Descripción
Teorema del gradiente	${\displaystyle \int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]}$	La integral de línea del gradiente de un campo escalar sobre una curva L es igual al cambio en el campo escalar entre los puntos extremos p y q de la curva.
Teorema de divergencia	${\displaystyle \underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$	La integral de la divergencia de un campo vectorial sobre un n sólido -dimensional V es igual al flujo del campo vectorial a través de la ( n -1) -dimensional superficie límite cerrado del sólido.
Teorema de Curl (Kelvin-Stokes)	${\displaystyle \iint _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\!\!\!\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$	La integral del rizo de un campo vectorial sobre una superficie Σ en es igual a la circulación del campo vectorial alrededor de la curva cerrada que delimita la superficie.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
${\displaystyle \varphi }$denota un campo escalar y F denota un campo vectorial

En dos dimensiones, los teoremas de divergencia y rizo se reducen al teorema de Green:

Teorema de Green del cálculo vectorial

Teorema	Declaración	Descripción
Teorema de green	${\displaystyle \iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\ =\ \oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)}$	La integral de la divergencia (o enrollamiento) de un campo vectorial sobre alguna región A en es igual al flujo (o circulación) del campo vectorial sobre la curva cerrada que delimita la región.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
Para divergencia, F = ( M , - L ) . Para rizo, F = ( L , M , 0) . L y M son funciones de ( x , y ) .

Aplicaciones

Aproximaciones lineales

Artículo principal: Aproximación lineal

Las aproximaciones lineales se utilizan para reemplazar funciones complicadas con funciones lineales que son casi iguales. Dada una función diferenciable f ( x , y ) con valores reales, uno puede aproximar f ( x , y ) para ( x , y ) cerca de ( a , b ) por la fórmula

${\displaystyle f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).}$

El lado derecho es la ecuación del plano tangente a la gráfica de z = f ( x , y ) en ( a , b ) .

Optimización

Artículo principal: Optimización matemática

Para una función continuamente diferenciable de varias variables reales , un punto P (es decir, un conjunto de valores para las variables de entrada, que se ve como un punto en R ⁿ ) es crítico si todas las derivadas parciales de la función son cero en P o, de manera equivalente, si su gradiente es cero. Los valores críticos son los valores de la función en los puntos críticos.

Si la función es suave o, al menos, dos veces continuamente diferenciable, un punto crítico puede ser un máximo local , un mínimo local o un punto silla . Los diferentes casos se pueden distinguir considerando los valores propios de la matriz de Hesse de segundas derivadas.

Según el teorema de Fermat , todos los máximos y mínimos locales de una función diferenciable ocurren en puntos críticos. Por lo tanto, para encontrar los máximos y mínimos locales, es suficiente, teóricamente, calcular los ceros del gradiente y los valores propios de la matriz de Hesse en estos ceros.

Física e ingeniería

El cálculo vectorial es particularmente útil para estudiar:

• Centro de masa
• Teoría de campo
• Cinemática
• Ecuaciones de Maxwell

Generalizaciones

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Diferentes 3 colectores

El cálculo vectorial se define inicialmente para el espacio tridimensional euclidiano , que tiene una estructura adicional más allá de ser simplemente un espacio vectorial real tridimensional, a saber: una norma (que da una noción de longitud) definida a través de un producto interno (el producto escalar ), que en girar da una noción de ángulo y una orientación , que da una noción de zurdo y diestro. Estas estructuras dan lugar a una forma de volumen , y también al producto cruzado , que se utiliza de forma generalizada en el cálculo de vectores.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$

El gradiente y la divergencia requieren solo el producto interno, mientras que el rizo y el producto cruzado también requieren que se tenga en cuenta la mano del sistema de coordenadas (consulte el producto cruzado y la mano para obtener más detalles).

El cálculo vectorial se puede definir en otros espacios vectoriales reales tridimensionales si tienen un producto interno (o más generalmente una forma simétrica no degenerada ) y una orientación; tenga en cuenta que estos son menos datos que un isomorfismo al espacio euclidiano, ya que no requiere un conjunto de coordenadas (un marco de referencia), lo que refleja el hecho de que el cálculo vectorial es invariante bajo rotaciones (el grupo ortogonal especial SO (3)) .

De manera más general, el cálculo vectorial se puede definir en cualquier variedad Riemanniana orientada tridimensional o, más generalmente, variedad pseudo-Riemanniana . Esta estructura simplemente significa que el espacio tangente en cada punto tiene un producto interno (más generalmente, una forma simétrica no degenerada) y una orientación, o más globalmente que hay un tensor métrico simétrico no degenerado y una orientación, y funciona porque el cálculo vectorial está definido. en términos de vectores tangentes en cada punto.

Otras dimensiones

La mayoría de los resultados analíticos se comprenden fácilmente, en una forma más general, utilizando la maquinaria de la geometría diferencial , de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto. Grad y div se generalizan inmediatamente a otras dimensiones, al igual que el teorema del gradiente, el teorema de la divergencia y laplaciano (que produce el análisis armónico ), mientras que el curl y el producto cruzado no se generalizan tan directamente.

Desde un punto de vista general, los diversos campos en el cálculo de vectores (tridimensionales) se ven uniformemente como campos de k -vector: los campos escalares son campos de vector 0, los campos de vector son campos de 1 vector, los campos de pseudovector son de 2 vectores Los campos y los campos pseudoescalares son campos de 3 vectores. En dimensiones más altas hay tipos adicionales de campos (escalar / vector / pseudovector / pseudoescalar correspondiente a 0/1 / n -1 / n dimensiones, que es exhaustiva en dimensión 3), por lo que uno puede no sólo trabajo con escalares y (pseudo) ( pseudo) vectores.

En cualquier dimensión, asumiendo una forma no degenerada, grad de una función escalar es un campo vectorial, y div de un campo vectorial es una función escalar, pero solo en la dimensión 3 o 7 ^[5] (y, trivialmente, en la dimensión 0 o 1 ) es el rizo de un campo vectorial, un campo vectorial, y solo en 3 o 7 dimensiones se puede definir un producto cruzado (las generalizaciones en otras dimensionalidades requieren vectores para producir 1 vector, o son álgebras de Lie alternativas , que son bilineales antisimétricas más generales productos). La generalización de grad y div, y cómo se puede generalizar curl se elabora en Curl: Generalizaciones ; En resumen, el rizo de un campo vectorial es un campo bivector , que puede interpretarse como el${\displaystyle n-1}$álgebra de Lie ortogonal especial de rotaciones infinitesimales; sin embargo, esto no se puede identificar con un campo vectorial porque las dimensiones son diferentes: hay 3 dimensiones de rotaciones en 3 dimensiones, pero 6 dimensiones de rotaciones en 4 dimensiones (y más generalmente dimensiones de rotaciones en n dimensiones).${\displaystyle \textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}}$

Hay dos generalizaciones alternativas importantes del cálculo vectorial. La primera, el álgebra geométrica , usa campos de k -vector en lugar de campos de vector (en 3 o menos dimensiones, cada campo de k -vector se puede identificar con una función escalar o campo de vector, pero esto no es cierto en dimensiones superiores). Esto reemplaza el producto cruzado, que es específico para 3 dimensiones, tomando dos campos vectoriales y dando como salida un campo vectorial, con el producto exterior , que existe en todas las dimensiones y toma dos campos vectoriales, dando como salida un bivector (2 -campo vectorial. Este producto produce álgebras de Cliffordcomo la estructura algebraica en espacios vectoriales (con orientación y forma no degenerada). El álgebra geométrica se usa principalmente en generalizaciones de física y otros campos aplicados a dimensiones superiores.

La segunda generalización usa formas diferenciales ( k -campos de covectores) en lugar de campos vectoriales o k -campos de vectores, y se usa ampliamente en matemáticas, particularmente en geometría diferencial , topología geométrica y análisis armónico , en particular produciendo la teoría de Hodge en pseudo-orientados. Variedades de Riemann. Desde este punto de vista, grad, curl y div corresponden a la derivada exterior de formas 0, formas 1 y formas 2, respectivamente, y los teoremas clave del cálculo vectorial son todos casos especiales de la forma general de Stokes. 'teorema .

Desde el punto de vista de estas dos generalizaciones, el cálculo vectorial identifica implícitamente objetos matemáticamente distintos, lo que hace que la presentación sea más simple pero la estructura matemática subyacente y las generalizaciones menos claras. Desde el punto de vista del álgebra geométrica, el cálculo de vectores identifica implícitamente campos de k -vectores con campos vectoriales o funciones escalares: 0-vectores y 3-vectores con escalares, 1-vectores y 2-vectores con vectores. Desde el punto de vista de las formas diferenciales, el cálculo vectorial identifica implícitamente k-formas con campos escalares o campos vectoriales: formas 0 y formas 3 con campos escalares, formas 1 y formas 2 con campos vectoriales. Así, por ejemplo, el rizo toma naturalmente como entrada un campo vectorial o forma 1, pero naturalmente tiene como salida un campo de 2 vectores o forma 2 (por lo tanto, campo pseudovectorial), que luego se interpreta como un campo vectorial, en lugar de tomar directamente un campo vectorial a un campo vectorial; esto se refleja en el rizo de un campo vectorial en dimensiones superiores que no tiene como salida un campo vectorial.

Ver también

• Análisis de curvas con valores vectoriales
• Función de valor real
• Función de una variable real
• Función de varias variables reales
• Identidades de cálculo vectorial
• Relaciones de álgebra vectorial
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas
• Derivado direccional
• Campo de vector conservador
• Campo de vector solenoidal
• Campo de vector laplaciano
• Descomposición de Helmholtz
• Coordenadas ortogonales
• Coordenadas sesgadas
• Coordenadas curvilíneas
• Tensor

Referencias

Citas

1. Galbis, Antonio y Maestre, Manuel (2012). Análisis de vectores versus cálculo de vectores . Saltador. pag. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.
2. "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 17 de septiembre de 2020 .
3. "Lista de símbolos de análisis y cálculo" . Bóveda de matemáticas . 2020-05-11 . Consultado el 17 de septiembre de 2020 .
4. "Operadores diferenciales" . Math24 . Consultado el 17 de septiembre de 2020 .
5. Lizhong Peng y Lei Yang (1999) "El rizo en el espacio de siete dimensiones y sus aplicaciones", Teoría de la aproximación y sus aplicaciones 15 (3): 66 a 80 doi : 10.1007 / BF02837124

Fuentes

• Sandro Caparrini (2002) " El descubrimiento de la representación vectorial de momentos y velocidades angulares ", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas 56: 151–81.
• Crowe, Michael J. (1967). Una historia del análisis de vectores: la evolución de la idea de un sistema vectorial (reimpresión ed.). Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-67910-5.
• Marsden, JE (1976). Cálculo vectorial . WH Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.
• Schey, HM (2005). Div Grad Curl y todo eso: un texto informal sobre cálculo vectorial . WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6.
• Barry Spain (1965) Vector Analysis , 2ª edición, enlace de Internet Archive .
• Chen-To Tai (1995). Un estudio histórico del análisis de vectores . Informe técnico RL 915, Laboratorio de radiación, Universidad de Michigan.

Enlaces externos

• "Análisis de vectores" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Álgebra vectorial" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Una encuesta sobre el uso inadecuado de ∇ en el análisis de vectores (1994) Tai, Chen-To
• Vector Analysis: Un libro de texto para el uso de estudiantes de matemáticas y física, (basado en las conferencias de Willard Gibbs ) por Edwin Bidwell Wilson , publicado en 1902.
• Los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas: análisis vectorial