En finanzas , la aproximación de Black es un método aproximado para calcular el valor de una opción de compra estadounidense sobre una acción que paga un solo dividendo. Fischer Black lo describió en 1975. [1]
La fórmula de Black-Scholes (en adelante, "Fórmula BS") proporciona una ecuación explícita para el valor de una opción de compra sobre una acción que no paga dividendos. En caso de que la acción pague uno o más dividendos discretos, no se conoce una fórmula cerrada, pero se pueden utilizar varias aproximaciones o, de lo contrario, el PDE de Black-Scholes deberá resolverse numéricamente. Una de esas aproximaciones se describe aquí. Consulte también las opciones estadounidenses del modelo Black-Scholes .
Básicamente, el método implica el uso de la fórmula BS para calcular el valor de dos opciones call europeas:
(1) Se valora una call europea con el mismo vencimiento que la call estadounidense, pero con el precio de la acción reducido por el valor presente del dividendo, y
(2) Un call europeo que vence el día anterior al pago del dividendo. El mayor de (1) y (2) se toma como valor aproximado para la llamada estadounidense. Vea el ejemplo a un lado. El valor resultante a veces se denomina valor "pseudoamericano" de la llamada.
Solicitud
Considere una opción de compra estadounidense con fechas ex-dividendo en 3 meses y 5 meses, y tiene una fecha de vencimiento de 6 meses. Se espera que el dividendo en cada fecha ex-dividendo pague $ 0.70. A continuación se presenta información adicional. Encuentre el valor de la opción de compra estadounidense.
Primero, necesitamos calcular en base a los dos métodos proporcionados anteriormente en la sección de métodos. Aquí calcularemos ambas partes:
- (1) Este es el primer método de cálculo, que establece:
- Un call europeo con el mismo vencimiento que el call americano en valoración, pero con el precio de la acción reducido por el valor presente del dividendo.
- dónde
- es el valor actual neto de los dividendos en las fechas ex-dividendo (usamos las fechas ex-dividendo porque en esta fecha el precio de las acciones disminuye en la cantidad del dividendo)
- son los dividendos en las fechas ex-dividendo
- es la tasa libre de riesgo del mercado, que asumiremos que es constante para este ejemplo
- cantidad de tiempo hasta la fecha ex-dividendo
- un factor de división para llevar el Δt a un año completo. (ejemplo = 2 meses, = 12 meses, por lo tanto = 2/12 = .166667)
- es la función exponencial.
- Aplicando esta fórmula a la pregunta:
- Por lo tanto, el precio de la opción se puede calcular utilizando el modelo Black-Scholes- Meerton donde se descontarán los dividendos de que denotaré por para el nuevo valor:
- El resto de las variables siguen siendo las mismas. Ahora necesitamos calcular d 1 yd 2 usando estas fórmulas
- dónde,
- es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar
- es el momento de la madurez
- es el precio actual del activo subyacente
- es el precio de ejercicio
- es la tasa libre de riesgo ( tasa anual, expresada en términos de capitalización continua )
- es la volatilidad de los rendimientos del activo subyacente
- Ingresando los valores obtenemos:
(2) Este es el segundo método de cálculo, que establece:
- Una llamada europea que vence el día anterior al pago del dividendo.
- Este método comienza como el método anterior, excepto que el vencimiento de esta opción se establece en el último vencimiento antes del último dividendo (es decir, el segundo dividendo en el quinto mes):
- En su mayor parte, las variables siguen siendo las mismas, excepto por el tiempo hasta el vencimiento, que es igual a:
Recordando el método (1) precio de del método (2), vemos que el precio de la opción de compra estadounidense, según la aproximación de Fisher Black, es el mayor de los dos métodos, por lo tanto, el precio de la opción = .
Referencias
- Hull, John C. (1997). Opciones, futuros y otros derivados . Prentice Hall. ISBN 0-13-601589-1.
- ^ F. Black: Realidad y fantasía en el uso de opciones, FAJ, julio-agosto de 1975, págs.36