Archivo: Ising-tartan.png

DescripciónIsing-tartan.png	Inglés: Estegráfico tipo tartán muestra la densidad de probabilidad del modelo de Ising para la red de dos lados utilizando el mapeo diádico. ${\displaystyle P(\sigma )}$ Es decir, una configuración de celosía de longitud ${\displaystyle 2N}$ ${\displaystyle \sigma =(\sigma _{-N-1},\cdots ,\sigma _{-2},\sigma _{-1},\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{N})}$ se entiende que consiste en una secuencia de "giros" . Esta secuencia puede estar representada por dos números reales con${\displaystyle \sigma _{k}=\pm 1}$${\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}$ ${\displaystyle x(\sigma )=\sum _{k=0}^{N}\left({\frac {\sigma _{k}+1}{2}}\right)2^{-(k+1)}}$ y ${\displaystyle y(\sigma )=\sum _{k=0}^{N}\left({\frac {\sigma _{-k-1}+1}{2}}\right)2^{-(k+1)}}$ La energía de una configuración dada se calcula utilizando el hamiltoniano clásico , ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H(\sigma )=\sum _{k=-N}^{N}V(\tau ^{k}\sigma )}$ Aquí, está el operador de cambio , actuando sobre la celosía cambiando todos los giros en una posición: ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau (\cdots ,\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\cdots )=(\cdots ,\sigma _{-1},\sigma _{0},\sigma _{1},\cdots )}$ El potencial de interacción viene dado por la interacción del modelo de Ising${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V(\sigma )=J\sigma _{0}\sigma _{1}+B\sigma _{0}}$ Aquí, la constante es la fuerza de interacción entre dos espines vecinos y , mientras que la constante puede interpretarse como la fuerza de la interacción entre el campo magnético y el momento magnético del espín.${\displaystyle J}$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle B}$ El conjunto de todas las configuraciones posibles forma un conjunto canónico , y cada configuración diferente ocurre con una probabilidad dada por la distribución de Boltzmann.${\displaystyle \Omega =\{\sigma \}}$${\displaystyle P(\sigma )}$ ${\displaystyle P(\sigma )={\frac {1}{Z(T)}}e^{-H(\sigma )/k_{B}T}}$ donde es la constante de Boltzmann , es la temperatura y es la función de partición . La función de partición se define como tal que la suma de todas las probabilidades sume uno; es decir, para que${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Z(T)}$ ${\displaystyle Z(T)=\sum _{\sigma \in \Omega }e^{-H(\sigma )/k_{B}T}}$ Detalles de la imagen La imagen muestra aquí para el modelo de Ising, con , y la temperatura . La celosía tiene un tamaño finito, con , de modo que todas las configuraciones de celosía están representadas, cada configuración denotada por un píxel. Las opciones de color aquí son tales que el negro representa valores donde son cero, el azul son valores pequeños, y el amarillo y el rojo son valores progresivamente más grandes.${\displaystyle P(\sigma )=P(x,y)}$${\displaystyle J=0.3}$${\displaystyle B=0}$${\displaystyle T=1/k_{B}}$${\displaystyle N=10}$${\displaystyle 1024\times 1024=2^{N}\times 2^{N}}$${\displaystyle P(\sigma )=P(x,y)}$ Como medida invariante Este tartán fractal es invariante bajo el mapa de Baker . El operador de cambio en la celosía tiene una acción en el cuadrado unitario con la siguiente representación: ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau (x,y)=\left({\frac {x+\left\lfloor 2y\right\rfloor }{2}}\,,\,2y-\left\lfloor 2y\right\rfloor \right)}$ Este mapa (hasta una reflexión / rotación alrededor del eje de 45 grados) es esencialmente el mapa de Baker o equivalentemente el mapa de Herradura . Como explica el artículo sobre el mapa de la herradura, los conjuntos invariantes tienen tal patrón de tartán (una alfombra de Sierpinski apropiadamente deformada ). En este caso, la invariancia surge de la invariancia de traducción de los estados de Gibbs del modelo de Ising: es decir, la energía asociada con el estado es invariante bajo la acción de :${\displaystyle H(\sigma )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle H\left(\tau ^{k}\sigma \right)=H(\sigma )}$ para todos los enteros . De manera similar, la densidad de probabilidad también es invariante:${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P\left(\tau ^{k}\sigma \right)=P(\sigma )}$ El tratamiento clásico ingenuo que se da aquí adolece de dificultades conceptuales en el límite. Estos problemas se pueden solucionar mediante el uso de una topología más adecuada en el conjunto de estados que componen el espacio de configuración. Esta topología es la topología del conjunto de cilindros y su uso permite construir un álgebra sigma y, por lo tanto, una medida del conjunto de estados. Con esta topología, se puede entender que la densidad de probabilidad es una medida invariante en la traducción de la topología. De hecho, hay un cierto sentido en el que los patrones aparentemente fractales generados por el mapa iterado de Baker o el mapa de herradura pueden entenderse con una topología convencional y de buen comportamiento en un modelo de celosía.${\displaystyle N\to \infty }$ Creado por Linas Vepstas Usuario: Linas el 24 de septiembre de 2006
Fecha	24 de septiembre de 2006 (fecha de carga original)
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Autor	Linas en Wikipedia en inglés

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24 September 2006