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Resumen
DescripciónDescomposición de valores singulares.svg
Inglés: representación visual de una descomposición de valor singular (SVD) de la cizalla real bidimensional
La parte superior izquierda muestra el disco unitario en azul junto con los dos vectores unitarios canónicos. La parte superior derecha muestra la acción de M en el disco de la unidad: distorsiona el círculo en una elipse. La SVD descompone M en tres transformaciones simples: una rotación V * , un sigma de escala a lo largo de los ejes de coordenadas y una segunda rotación U . La SVD revela las longitudes σ 1 resp. σ 2 del semieje mayor resp. eje semi-menor del ellispe; son solo los valores singulares que aparecen como elementos diagonales de la escala Σ. La rotación de la elipse con respecto a los ejes de coordenadas está dada por U .
En este caso particular, la descomposición es la siguiente:
σ 1 = Φ donde Φ ≈ 1.618 denota la proporción áurea
σ 2 = 1 / Φ
V * = una rotación en sentido horario por α con tan (α) = Φ, es decir, V es una rotación por −α ≈ −58.28 °.
U = una rotación en sentido antihorario por β donde β satisface tan (β) = Φ − 1, es decir, β ≈ 31,72 °.
Observe que Σ es único, pero V y U no lo son. Podríamos agregar una rotación de 180 ° tanto a V como a U o agregar algunas reflexiones.
Deutsch: Veranschaulichung einer Singulärwertzerlegung (SVD) der 2-dimensionalen, reellen Scherung
Oben vincula sieht man den Einheitskreis en blau zusammen mit den Standard-Einheitsvektoren. Oben rechts sieht man das Bild des Einheitskreises unter M : der Kreis wird zu einer Ellipse verzogen. SVD Die zerlegt M en drei einfache Transformationen: Eine rotación V * , Eine Dehnung Σ entlang der Koordinatenachsen und eine del zweite rotación U . Die Zerlegung lässt direkt die Längen σ 1 bzw. σ 2 der großen bzw. kleinen Halbachse der Ellipse erkennen; die Werte stehen in der Hauptdiagonalen von Σ. Die Rotation der Ellipse en Bezug auf das Koordinatensystem wird durch U beschrieben.
In diesem speziellen Fall sieht die Singulärwertzerlegung aus wie folgt ::
σ 1 = Φ wobei Φ ≈ 1.618 den Goldenen Schnitt bezeichnet
σ 2 = 1 / Φ
V * = eine Drehung um α im Uhrzeigersinn, wobei tan (α) = Φ, dh V ist eine Drehung um −α ≈ −58,28 °.
U = eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um β wobei dorado tan (β) = Φ − 1, dh β ≈ 31,72 °.
In der Zerlegung ist nur Σ eindeutig bestimmt; U und V sind es nicht: zu U und V könnten Drehungen um 180 ° oder Spiegelungen hinzugenommen werden.
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Autor
Georg-Johann
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Subtítulos
Ilustración de la descomposición en valor singular UΣV * de una matriz real 2 × 2 M.
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Descomposición de valores singulares de la cizalla bidimensional
M = (1 1)
(0 1)
La imagen muestra:
Arriba a la izquierda: el disco unitario con los dos vectores unitarios canónicos
Arriba a la derecha: Unit Disc et al. transformado con M y valores signulares sigma_1 y sigma_2 indicados
Abajo a la izquierda: la acción de V ^ * en el disco de la Unidad. Esta es una Rotación justa.
Abajo a la derecha: La acción de Sigma * V ^ * en el disco de la Unidad. Sigma escala vertical y horizontalmente.
En este caso especial, los valores singulares son Phi y 1 / Phi, donde Phi es la proporción áurea. V ^ * es una rotación (en sentido antihorario) de un ángulo alfa donde alfa satisface tan (alfa) = -Phi. U es una rotación por beta con tan (beta) = Phi-1