En teoría de números , el teorema de Glaisher es una identidad útil para el estudio de particiones enteras . Lleva el nombre de James Whitbread Lee Glaisher .
Declaración
Afirma que el número de particiones de un entero en partes no divisibles por es igual al número de particiones del formulario
dónde
y
es decir, particiones en las que ninguna parte se repite do más veces.
Cuándo esto se convierte en el caso especial, conocido como teorema de Euler, que el número de particiones de en partes distintas es el mismo que el número de particiones de en partes extrañas.
Teoremas similares
Si en lugar de contar el número de particiones con partes distintas contamos el número de particiones con partes que difieren en al menos 2, se obtiene un teorema similar al teorema de Euler conocido como teorema de Rogers (después de Leonard James Rogers ):
- El número de particiones cuyas partes difieren en al menos 2 es igual al número de particiones que involucran solo números congruentes con 1 o 4 (mod 5).
Por ejemplo, hay 6 particiones de 10 en partes que difieren al menos en 2, a saber, 10, 9 + 1, 8 + 2, 7 + 3, 6 + 4, 6 + 3 + 1; y 6 particiones de 10 que involucran solo 1, 4, 6, 9 ..., a saber, 9 + 1, 6 + 4, 6 + 1 + 1 + 1 + 1, 4 + 4 + 1 + 1, 4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1. El teorema fue descubierto de forma independiente por Schur y Ramanujan .
Referencias
- DH Lehmer (1946). "Dos teoremas de inexistencia sobre particiones" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc. 52 (6): 538–544. doi : 10.1090 / S0002-9904-1946-08605-X .