En la teoría de colas , una disciplina dentro de la teoría matemática de la probabilidad , el resultado , teorema , lema , ley o fórmula de Little [1] [2] es un teorema de John Little que establece que el número promedio a largo plazo L de clientes en un sistema estacionario es igual a la tasa de llegada efectiva promedio a largo plazo λ multiplicada por el tiempo promedio W que un cliente pasa en el sistema. Expresada algebraicamente, la ley es
Aunque parece intuitivamente fácil, es un resultado bastante notable, ya que la relación "no está influenciada por la distribución del proceso de llegada, la distribución del servicio, la orden de servicio o prácticamente cualquier otra cosa". [3]
El resultado se aplica a cualquier sistema y, en particular, se aplica a los sistemas dentro de los sistemas. [4] Entonces, en un banco, la línea del cliente podría ser un subsistema y cada uno de los cajeros otro subsistema, y el resultado de Little podría aplicarse a cada uno, así como al conjunto. Los únicos requisitos son que el sistema sea estable y no preventivo ; esto descarta estados de transición como el inicio o el apagado inicial.
En algunos casos, es posible no solo relacionar matemáticamente el número promedio en el sistema con la espera promedio, sino incluso relacionar toda la distribución de probabilidad (y momentos) del número en el sistema con la espera. [5]
Historia
En un artículo de 1954, se asumió que la ley de Little era cierta y se usó sin pruebas. [6] [7] La forma L = λW fue publicada por primera vez por Philip M. Morse, donde desafió a los lectores a encontrar una situación en la que la relación no se sostuviera. [6] [8] Little publicó en 1961 su prueba de derecho, demostrando que no existía tal situación. [9] La demostración de Little fue seguida por una versión más simple de Jewell [10] y otra por Eilon. [11] Shaler Stidham publicó una prueba diferente y más intuitiva en 1972. [12] [13]
Ejemplos de
Encontrar tiempo de respuesta
Imagine una aplicación que no tuviera una forma sencilla de medir el tiempo de respuesta . Si se conoce el número medio en el sistema y el rendimiento, el tiempo de respuesta promedio se puede encontrar usando la Ley de Little:
- tiempo medio de respuesta = número medio en el sistema / rendimiento medio
Por ejemplo: un medidor de profundidad de cola muestra un promedio de nueve trabajos en espera de servicio. Agregue uno para el trabajo que se está reparando, de modo que haya un promedio de diez trabajos en el sistema. Otro medidor muestra un rendimiento medio de 50 por segundo. El tiempo medio de respuesta se calcula como 0,2 segundos = 10/50 por segundo.
Clientes en la tienda
Imagínese una pequeña tienda con un solo mostrador y un área para navegar, donde solo una persona puede estar en el mostrador a la vez y nadie se va sin comprar algo. Entonces, el sistema es aproximadamente:
- entrada → navegación → contador → salida
Si la velocidad a la que las personas ingresan a la tienda (llamada tasa de llegada) es la tasa a la que salen (llamada tasa de salida), el sistema es estable. Por el contrario, una tasa de llegada superior a una tasa de salida representaría un sistema inestable, donde el número de clientes en espera en la tienda aumentaría gradualmente hacia el infinito.
La Ley de Little nos dice que el número promedio de clientes en la tienda L , es la tasa de llegada efectiva λ , multiplicada por el tiempo promedio que un cliente pasa en la tienda W , o simplemente:
Suponga que los clientes llegan a una tasa de 10 por hora y permanecen un promedio de 0,5 horas. Esto significa que deberíamos encontrar que el número promedio de clientes en la tienda en cualquier momento es 5.
Ahora suponga que la tienda está considerando hacer más publicidad para aumentar la tasa de llegada a 20 por hora. La tienda debe estar preparada para albergar un promedio de 10 ocupantes o debe reducir el tiempo que cada cliente pasa en la tienda a 0,25 horas. La tienda podría lograr esto último haciendo sonar la factura más rápido o agregando más mostradores.
Podemos aplicar la Ley de Little a los sistemas dentro de la tienda. Por ejemplo, considere el contador y su cola. Supongamos que notamos que hay un promedio de 2 clientes en la cola y en el mostrador. Sabemos que la tasa de llegada es de 10 por hora, por lo que los clientes deben dedicar 0,2 horas en promedio a la salida.
Incluso podemos aplicar la Ley de Little al propio contador. El número promedio de personas en el mostrador estaría en el rango (0, 1) ya que no puede haber más de una persona en el mostrador a la vez. En ese caso, el número promedio de personas en el mostrador también se conoce como la utilización del mostrador.
Sin embargo, debido a que una tienda en realidad tiene generalmente una cantidad limitada de espacio, no puede volverse inestable. Incluso si la tasa de llegada es mucho mayor que la tasa de salida, la tienda eventualmente comenzará a desbordarse y, por lo tanto, los nuevos clientes que lleguen simplemente serán rechazados (y obligados a ir a otro lugar o intentarlo de nuevo más tarde) hasta que haya nuevamente espacio libre disponible en la tienda. Esta es también la diferencia entre la tasa de llegada y la tasa de llegada efectiva , donde la tasa de llegada corresponde aproximadamente a la tasa a la que los clientes llegan a la tienda, mientras que la tasa de llegada efectiva corresponde a la tasa a la que los clientes ingresan a la tienda. Sin embargo, en un sistema con un tamaño infinito y sin pérdidas, los dos son iguales.
Estimación de parámetros
Para usar la ley de Little sobre los datos, se deben usar fórmulas para estimar los parámetros, ya que el resultado no necesariamente se aplica directamente en intervalos de tiempo finitos, debido a problemas como cómo registrar los clientes que ya están presentes al comienzo del intervalo de registro y aquellos que tienen aún no ha salido cuando se detiene el registro. [14]
Aplicaciones
Los probadores de rendimiento de software han utilizado la ley de Little para garantizar que los resultados de rendimiento observados no se deban a cuellos de botella impuestos por el aparato de prueba. [15] [16]
Otras aplicaciones incluyen la dotación de personal en los departamentos de emergencia de los hospitales. [17] [18]
Forma distributiva
Una extensión de la ley de Little proporciona una relación entre la distribución de estado estable del número de clientes en el sistema y el tiempo empleado en el sistema bajo una disciplina de servicio por orden de llegada . [19]
Ver también
- Lista de leyes epónimas (leyes, adagios y otras observaciones o predicciones sucintas con nombres de personas)
Notas
- ^ Alberto León-García (2008). Probabilidad, estadística y procesos aleatorios para ingeniería eléctrica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-147122-1.
- ^ Allen, Arnold A. (1990). Probabilidad, estadística y teoría de colas: con aplicaciones informáticas . Publicaciones profesionales del Golfo. pag. 259 . ISBN 0120510510.
- ^ Simchi-Levi, D .; Truco, MA (2013). "Introducción a la" Ley de Little vista en su 50 aniversario " ". Investigación operativa . 59 (3): 535. doi : 10.1287 / opre.1110.0941 .
- ^ Serfozo, R. (1999). "Pequeñas leyes". Introducción a las redes estocásticas . pp. 135 -154. doi : 10.1007 / 978-1-4612-1482-3_5 . ISBN 978-1-4612-7160-4.
- ^ Keilson, J .; Servi, LD (1988). "Una forma distributiva de la ley de Little" (PDF) . Cartas de investigación operativa . 7 (5): 223. doi : 10.1016 / 0167-6377 (88) 90035-1 . hdl : 1721,1 / 5305 .
- ^ a b Little, JDC ; Graves, Carolina del Sur (2008). "Ley de Little" (PDF) . Construyendo la intuición . Serie Internacional en Investigación de Operaciones y Ciencias de la Gestión. 115 . pag. 81. doi : 10.1007 / 978-0-387-73699-0_5 . ISBN 978-0-387-73698-3.
- ^ Cobham, Alan (1954). "Asignación de prioridad en problemas de línea de espera". Investigación operativa . 2 (1): 70–76. doi : 10.1287 / opre.2.1.70 . JSTOR 166539 .
- ^ Morse, Philip M. (1958). Colas, inventarios y mantenimiento: el análisis del sistema operativo con demanda y oferta variable . Wiley.
- ^ Pequeño, JDC (1961). "Una prueba de la fórmula de la cola: L = λW ". Investigación operativa . 9 (3): 383–387. doi : 10.1287 / opre.9.3.383 . JSTOR 167570 .
- ^ Jewell, William S. (1967). "Una prueba simple de: L = λW ". Investigación operativa . 15 (6): 1109-1116. doi : 10.1287 / opre.15.6.1109 . JSTOR 168616 .
- ^ Eilon, Samuel (1969). "Una prueba más simple de L = λW " . Investigación operativa . 17 (5): 915–917. doi : 10.1287 / opre.17.5.915 . JSTOR 168368 .
- ^ Stidham Jr., Shaler (1974). "Una última palabra sobre L = λW " . Investigación operativa . 22 (2): 417–421. doi : 10.1287 / opre.22.2.417 . JSTOR 169601 .
- ^ Stidham Jr., Shaler (1972). " L = λW : un análogo con descuento y una nueva prueba". Investigación operativa . 20 (6): 1115-1120. doi : 10.1287 / opre.20.6.1115 . JSTOR 169301 .
- ^ Kim, SH; Whitt, W. (2013). "Análisis estadístico con la ley de Little" (PDF) . Investigación operativa . 61 (4): 1030. doi : 10.1287 / opre.2013.1193 .
- ^ Cuellos de botella de la infraestructura de software en J2EE por Deepak Goel
- ^ Errores de evaluación comparativa y cosas que surgen en la noche por Neil Gunther
- ^ Pequeño, JDC (2011). "Ley de Little vista en su 50 aniversario" (PDF) . Investigación operativa . 59 (3): 536–549. doi : 10.1287 / opre.1110.0940 . JSTOR 23013126 .
- ^ Harris, Mark (22 de febrero de 2010). "Ley de Little: la ciencia detrás de la dotación de personal adecuada" . Médicos de Emergencia Mensual. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2012 . Consultado el 4 de septiembre de 2012 .
- ^ Bertsimas, D .; Nakazato, D. (1995). "La ley de distribución de Little y sus aplicaciones" (PDF) . Investigación operativa . 43 (2): 298. doi : 10.1287 / opre.43.2.298 . JSTOR 171838 .
enlaces externos
- Una prueba de la fórmula de las colas L = λ W , Sigman, K., Universidad de Columbia