El algoritmo de recurrencia de Miller es un procedimiento para calcular una solución rápidamente decreciente de una relación de recurrencia lineal desarrollado por JCP Miller . [1] Fue desarrollado originalmente para calcular tablas de la función de Bessel modificada [2] pero también se aplica a las funciones de Bessel del primer tipo y tiene otras aplicaciones como el cálculo de los coeficientes de las expansiones de Chebyshev de otras funciones especiales. [3]
Muchas familias de funciones especiales satisfacen una relación de recurrencia que relaciona los valores de las funciones de diferentes órdenes con un argumento común. .
Las funciones de Bessel modificadas del primer tipo satisfacer la relación de recurrencia
- .
Sin embargo, las funciones de Bessel modificadas del segundo tipo también satisfacen la misma relación de recurrencia
- .
La primera solución disminuye rápidamente con . La segunda solución aumenta rápidamente con. El algoritmo de Miller proporciona un procedimiento numéricamente estable para obtener la solución decreciente.
Para calcular los términos de una recurrencia mediante según el algoritmo de Miller, primero se elige un valor mucho más grande que y calcula una solución de prueba tomando la condición inicial a un valor arbitrario distinto de cero (como 1) y tomando y términos posteriores a cero. Luego, la relación de recurrencia se usa para calcular sucesivamente los valores de prueba para, Abajo a . Teniendo en cuenta que una segunda secuencia obtenida de la secuencia de prueba por multiplicación por un factor de normalización constante seguirá satisfaciendo la misma relación de recurrencia, se puede aplicar una relación de normalización separada para determinar el factor de normalización que produce la solución real.
En el ejemplo de las funciones de Bessel modificadas, una relación normalizadora adecuada es una suma que involucra los términos pares de la recurrencia:
donde la suma infinita se vuelve finita debido a la aproximación de que y los términos posteriores son cero.
Finalmente, se confirma que el error de aproximación del procedimiento es aceptable repitiendo el procedimiento con una segunda elección de más grande que la elección inicial y confirmando que el segundo conjunto de resultados para mediante de acuerdo dentro del primer conjunto dentro de la tolerancia deseada. Tenga en cuenta que para obtener este acuerdo, el valor de debe ser lo suficientemente grande como para que el término es pequeño en comparación con la tolerancia deseada.
En contraste con el algoritmo de Miller, intenta aplicar la relación de recurrencia en la dirección hacia adelante a partir de valores conocidos de y obtenido por otros métodos fallará ya que los errores de redondeo introducen componentes de la solución que aumenta rápidamente. [4]
Olver [2] y Gautschi [5] analizan en detalle la propagación de errores del algoritmo.
Para las funciones de Bessel del primer tipo, la relación de recurrencia equivalente y la relación de normalización son: [6]
- .
El algoritmo es particularmente eficiente en aplicaciones que requieren los valores de las funciones de Bessel para todos los pedidos. por cada valor de en comparación con cálculos independientes directos de funciones separadas.
Referencias
- ^ Bickley, WG; Comrie, LJ; Sadler, DH; Miller, JCP; Thompson, AJ (1952). Asociación británica para el avance de la ciencia, Tablas matemáticas, vol. X, Funciones de Bessel, parte II, Funciones de orden entero positivo . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521043212., citado en Olver (1964)
- ^ a b Olver, FWJ (1964). "Análisis de errores del algoritmo de recurrencia de Miller". Matemáticas. Comp . 18 (85): 65–74. doi : 10.2307 / 2003406 . JSTOR 2003406 .
- ^ Németh, G. (1965). "Expansiones de Chebyshev para integrales de Fresnel". Numer. Matemáticas . 7 (4): 310–312. doi : 10.1007 / BF01436524 .
- ^ Hart, JF (1978). Aproximaciones por computadora (reimpresión ed.). Malabar, Florida: Robert E. Krieger. págs. 25-26. ISBN 978-0-88275-642-4.
- ^ Gautschi, Walter (1967). "Aspectos computacionales de las relaciones de recurrencia de tres términos" (PDF) . Revisión SIAM . 9 : 24–82. doi : 10.1137 / 1009002 .
- ^ Arfken, George (1985). Métodos matemáticos para físicos (3ª ed.). Prensa académica. pag. 576 . ISBN 978-0-12-059820-5.