Teoremas A y B de Quillen

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En topología , una rama de las matemáticas , el teorema A de Quillen da una condición suficiente para que los espacios de clasificación de dos categorías sean homotópicos equivalentes. El Teorema B de Quillen da una condición suficiente para que un cuadrado consistente en clasificar espacios de categorías sea homotópico cartesiano . Los dos teoremas juegan un papel central en la construcción Q de Quillen en la teoría K algebraica y llevan el nombre de Daniel Quillen .

Teorema A de Quillen  :  si es un funtor tal que el espacio de clasificación de la categoría de coma es contráctil para cualquier objeto d en D , entonces f induce una equivalencia de homotopía .${\ estilo de visualización f: C \ a D}$${\ estilo de visualización B (d \ flecha abajo f)}$ ${\ estilo de visualización d \ flecha abajo f}$${\ estilo de visualización BC \ a BD}$

Teorema B de Quillen  :  si es un funtor que induce una equivalencia de homotopía para cualquier morfismo , entonces hay una secuencia exacta larga inducida:${\ estilo de visualización f: C \ a D}$${\displaystyle B(d'\flecha abajo f)\a B(d\flecha abajo f)}$${\displaystyle d\to d'}$

En general, la fibra de homotopía no es naturalmente el espacio clasificatorio de una categoría: no existe una categoría natural tal que . El teorema B se construye en un caso cuando es especialmente agradable.${\displaystyle Bf:BC\a BD}$${\ estilo de visualización Ff}$${\displaystyle FBf=BFf}$${\ estilo de visualización Ff}$${\ estilo de visualización f}$

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