teorema de Qvist
En geometría proyectiva, el teorema de Qvist , llamado así por el matemático finlandés Bertil Qvist , es un enunciado sobre óvalos en planos proyectivos finitos . Los ejemplos estándar de óvalos son secciones cónicas no degeneradas (proyectivas) . El teorema da respuesta a la pregunta ¿Cuántas tangentes a un óvalo pueden pasar por un punto en un plano proyectivo finito? La respuesta depende esencialmente del orden (número de puntos en una línea −1) del plano.
cuando | l ∩ Ω | = 0 la línea l es una línea exterior (o passant ), [1] si | l ∩ Ω | = 1 una recta tangente y si | l ∩ Ω | = 2 la línea es una línea secante .
(a) Sea t R la tangente a Ω en el punto R y sean P 1 , ... , P n los puntos restantes de esta línea. Para cada i , las líneas a través de P i dividen Ω en conjuntos de cardinalidad 2 o 1 o 0. Dado que el número | Ω | = n + 1 es par, para cualquier punto P i , debe existir al menos una tangente más que pase por ese punto. El número total de tangentes es n + 1 , por lo tanto, hay exactamente dos tangentes a través de cada P i, t R y uno más. Por lo tanto, para cualquier punto P que no esté en el óvalo Ω , si P está en cualquier tangente a Ω , está exactamente en dos tangentes.
(b) Sea s una secante, s ∩ Ω = { P 0 , P 1 } y s = { P 0 , P 1 ,..., P n }. porque | Ω | = n + 1 es impar, por cualquier P i , i = 2,...,n , pasa al menos una tangente t i . El número total de tangentes es n + 1 . Por lo tanto, a través de cualquier punto P i para i = 2,..., n hay exactamente una tangente. SiN es el punto de intersección de dos tangentes, ninguna secante puede pasar por N . Como n + 1 , el número de tangentes, es también el número de rectas que pasan por cualquier punto, cualquier recta que pasa por N es una tangente.
la clausura proyectiva de la parábola y = x 2 , es un óvalo con el punto N = (0) como núcleo (ver imagen), es decir, cualquier recta y = c , con c ∈ K , es una tangente.
