Lema de Schur (geometría de Riemann)

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En la geometría de Riemann , el lema de Schur es un resultado que dice, heurísticamente, siempre que ciertas curvaturas son constantes puntualmente, entonces se ven obligadas a ser constantes globalmente. La prueba es esencialmente un cálculo de un solo paso, que tiene una sola entrada: la segunda identidad de Bianchi.

Supongamos que es una variedad riemanniana suave con dimensión . Recuerde que esto define para cada elemento de :${\ estilo de visualización (M, g)}$${\ estilo de visualización n.}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización M}$

Supongamos que no es igual a dos. Si hay una función en tal que para todos entonces Equivalentemente, es constante en cada componente conexa de ; esto también podría expresarse como afirmando que cada componente conectado de es una variedad de Einstein .${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización \ kappa}$${\ estilo de visualización M}$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}=\kappa (p)g_{p}}$${\ estilo de visualización p \ en M}$${\displaystyle d\kappa (p)=0.}$${\ estilo de visualización \ kappa}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización M}$

El lema de Schur es una simple consecuencia de la "segunda identidad de Bianchi contraída dos veces ", que establece que

Sea una forma bilineal simétrica en un espacio de producto interno -dimensional Entonces${\ estilo de visualización B}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización (V, g).}$

Sea una variedad riemanniana suave conexa cuya dimensión no es igual a dos. Entonces los siguientes son equivalentes:${\ estilo de visualización (M, g)}$

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