En matemática combinatoria , el teorema de reciprocidad de Stanley , que lleva el nombre del matemático del MIT Richard P. Stanley , establece que una determinada ecuación funcional se satisface mediante la función generadora de cualquier cono racional (definido a continuación) y la función generadora del interior del cono.
Definiciones
Un cono racional es el conjunto de todas las d - tuplas
- ( a 1 , ..., a d )
de enteros no negativos que satisfacen un sistema de desigualdades
donde M es una matriz de números enteros. Una d- tupla que satisface las correspondientes desigualdades estrictas , es decir, con ">" en lugar de "≥", está en el interior del cono.
La función generadora de tal cono es
La función generadora F int ( x 1 , ..., x d ) del interior del cono se define de la misma manera, pero se suma sobre d -tuplas en el interior en lugar de en todo el cono.
Se puede demostrar que se trata de funciones racionales .
Formulación
El teorema de reciprocidad de Stanley establece que para un cono racional como el anterior, tenemos
Matthias Beck y Mike Develin han demostrado cómo probar esto utilizando el cálculo de residuos . Develin ha dicho que esto equivale a demostrar el resultado "sin hacer ningún trabajo". [ cita requerida ]
El teorema de reciprocidad de Stanley generaliza la reciprocidad de Ehrhart-Macdonald para polinomios de Ehrhart de politopos convexos racionales .
Ver también
Referencias
- Stanley, Richard P. (1974). "Teoremas de reciprocidad combinatoria" (PDF) . Avances en Matemáticas . 14 (2): 194-253. doi : 10.1016 / 0001-8708 (74) 90030-9 .
- Beck, M .; Develin, M. (2004). "En el teorema de reciprocidad de Stanley para conos racionales". arXiv : matemáticas.CO / 0409562 .