En geometría , la noción de conexión precisa la idea de transportar datos [ se necesitan más explicaciones ] a lo largo de una curva o familia de curvas de manera paralela y coherente. Hay varios tipos de conexiones en la geometría moderna, según el tipo de datos que se quieran transportar. Por ejemplo, una conexión afín , el tipo de conexión más elemental, proporciona un medio para el transporte paralelo de vectores tangentes en una variedad de un punto a otro a lo largo de una curva. Una conexión afín se da típicamente en forma de un derivado covariante , que proporciona un medio para tomarderivadas direccionales de campos vectoriales, que miden la desviación de un campo vectorial de ser paralelo en una dirección determinada.
Las conexiones son de importancia central en la geometría moderna en gran parte porque permiten una comparación entre la geometría local en un punto y la geometría local en otro punto. La geometría diferencial abarca varias variaciones sobre el tema de la conexión, que se dividen en dos grupos principales: el infinitesimal y la teoría local. La teoría local se ocupa principalmente de las nociones de transporte paralelo y holonomía . La teoría infinitesimal se ocupa de la diferenciación de datos geométricos. Por tanto, una derivada covariante es una forma de especificar una derivada de un campo vectorial a lo largo de otro campo vectorial en una variedad. Una conexión de Cartan es una forma de formular algunos aspectos de la teoría de la conexión utilizando formas diferenciales y grupos de Lie . Una conexión Ehresmann es una conexión en un haz de fibras o un haz principal especificando las direcciones de movimiento permitidas del campo. Una conexión de Koszul es una conexión que define la derivada direccional para secciones de un paquete vectorial más general que el paquete tangente.
Las conexiones también conducen a formulaciones convenientes de invariantes geométricos , como la curvatura (ver también tensor de curvatura y forma de curvatura ) y tensor de torsión .
Motivación: la inadecuación de las coordenadas
Considere el siguiente problema. Suponga que se da un vector tangente a la esfera S en el polo norte, y vamos a definir una manera de mover consistentemente este vector a otros puntos de la esfera: un medio de transporte paralelo . Ingenuamente, esto podría hacerse usando un sistema de coordenadas particular . Sin embargo, a menos que se aplique el cuidado adecuado, el transporte paralelo definido en un sistema de coordenadas no coincidirá con el de otro sistema de coordenadas. Un sistema de transporte paralelo más apropiado aprovecha la simetría de la esfera en rotación. Dado un vector en el polo norte, se puede transportar este vector a lo largo de una curva rotando la esfera de tal manera que el polo norte se mueva a lo largo de la curva sin rodar axial. Este último medio de transporte paralelo es la conexión Levi-Civita en la esfera. Si se dan dos curvas diferentes con el mismo punto inicial y terminal, y un vector v se mueve rígidamente a lo largo de la primera curva mediante una rotación, el vector resultante en el punto terminal será diferente del vector resultante de mover rígidamente v a lo largo de la segunda. curva. Este fenómeno refleja la curvatura de la esfera. Un dispositivo mecánico simple que se puede utilizar para visualizar el transporte paralelo es el carro que apunta al sur .
Por ejemplo, suponga que S es una esfera a la que se le dan las coordenadas de la proyección estereográfica . Considere que S consiste en vectores unitarios en R 3 . Entonces S lleva un par de parches de coordenadas correspondientes a las proyecciones del polo norte y el polo sur. Las asignaciones
cubren un vecindario U 0 del polo norte y U 1 del polo sur, respectivamente. Sean X , Y , Z las coordenadas ambientales en R 3 . Entonces φ 0 y φ 1 tienen inversas
de modo que la función de transición de coordenadas es la inversión en el círculo :
Representemos ahora un campo vectorial en S (una asignación de un vector tangente a cada punto en S) en coordenadas locales. Si P es un punto de U 0 ⊂ S , entonces un campo vectorial puede ser representado por el avance de un campo vectorial v 0 en R 2 por:
dónde denota la matriz jacobiana de φ 0 (), y v 0 = v 0 ( x , y ) es un campo vectorial en R 2 determinado de forma única por v (ya que el empuje hacia adelante de un difeomorfismo local en cualquier punto es invertible). Además, en la superposición entre los gráficos de coordenadas U 0 ∩ U 1 , es posible representar el mismo campo vectorial con respecto a las coordenadas φ 1 :
Para relacionar los componentes v 0 y v 1 , aplique la regla de la cadena a la identidad φ 1 = φ 0 o φ 01 :
Aplicando ambos lados de esta ecuación matricial al vector componente v 1 (φ 1 −1 ( P )) e invocando (1) y (2) se obtiene
Llegamos ahora a la cuestión principal de definir cómo transportar un campo vectorial en paralelo a lo largo de una curva. Supongamos que P ( t ) es una curva en S . Ingenuamente, uno puede considerar un campo vectorial paralelo si los componentes de coordenadas del campo vectorial son constantes a lo largo de la curva. Sin embargo, surge una ambigüedad inmediata: ¿en qué sistema de coordenadas deberían ser constantes estos componentes?
Por ejemplo, suponga que v ( P ( t )) tiene componentes constantes en el sistema de coordenadas U 1 . Es decir, las funciones v 1 ( φ 1 −1 ( P ( t ))) son constantes. Sin embargo, aplicando la regla del producto a (3) y usando el hecho de que d v 1 / dt = 0 da
Pero es siempre una matriz no singular (siempre que la curva P ( t ) no sea estacionaria), por lo que v 1 y v 0 nunca pueden ser simultáneamente constantes a lo largo de la curva.
Resolución
El problema observado anteriormente es que la derivada direccional habitual del cálculo vectorial no se comporta bien ante cambios en el sistema de coordenadas cuando se aplica a los componentes de los campos vectoriales. Esto hace que sea bastante difícil describir cómo traducir campos vectoriales de manera paralela, si es que tal noción tiene algún sentido. Hay dos formas fundamentalmente diferentes de resolver este problema.
El primer enfoque es examinar lo que se requiere para que una generalización de la derivada direccional "se comporte bien" en las transiciones de coordenadas. Ésta es la táctica adoptada por el enfoque derivado covariante de las conexiones: el buen comportamiento se equipara con la covarianza . Aquí se considera una modificación de la derivada direccional por un cierto operador lineal , cuyos componentes se denominan símbolos de Christoffel , que no involucra derivadas en el campo vectorial en sí. La derivada direccional D u v de las componentes de un vector v en un sistema de coordenadas φ en la dirección u se reemplaza por una derivada covariante :
donde Γ depende del sistema de coordenadas φ y es bilineal en u y v . En particular, Γ no implica ninguna derivada en u o v . En este enfoque, Γ debe transformarse de una manera prescrita cuando el sistema de coordenadas φ se cambia a un sistema de coordenadas diferente. Esta transformación no es tensorial , ya que involucra no solo la primera derivada de la transición de coordenadas, sino también su segunda derivada . Especificar la ley de transformación de Γ no es suficiente para determinar Γ de forma única. Deben imponerse algunas otras condiciones de normalización, generalmente dependiendo del tipo de geometría que se esté considerando. En la geometría de Riemann , la conexión Levi-Civita requiere compatibilidad de los símbolos de Christoffel con la métrica (así como una cierta condición de simetría). Con estas normalizaciones, la conexión se define de forma única.
El segundo enfoque consiste en utilizar grupos de Lie para intentar capturar algún vestigio de simetría en el espacio. Este es el enfoque de las conexiones de Cartan . El ejemplo anterior que usa rotaciones para especificar el transporte paralelo de vectores en la esfera está muy en este sentido.
Estudio histórico de conexiones
Históricamente, las conexiones se estudiaron desde una perspectiva infinitesimal en la geometría riemanniana . El estudio infinitesimal de las conexiones comenzó hasta cierto punto con Elwin Christoffel . Más tarde, Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita ( Levi-Civita y Ricci 1900 ) lo abordaron más a fondo, quienes observaron en parte que una conexión en el sentido infinitesimal de Christoffel también permitía una noción de transporte paralelo .
El trabajo de Levi-Civita se centró exclusivamente en considerar las conexiones como una especie de operador diferencial cuyos desplazamientos paralelos eran entonces la solución de ecuaciones diferenciales . A medida que avanzaba el siglo XX, Élie Cartan desarrolló una nueva noción de conexión. Él trató de aplicar las técnicas de los sistemas de Pfaff a las geometrías de Felix Klein 's programa de Erlangen . En estas investigaciones, encontró que una cierta noción infinitesimal de conexión (una conexión de Cartan ) podría aplicarse a estas geometrías y más: su concepto de conexión permitía la presencia de curvatura que de otro modo estaría ausente en una geometría clásica de Klein. (Véase, por ejemplo, ( Cartan 1926 ) y ( Cartan 1983 ).) Además, utilizando la dinámica de Gaston Darboux , Cartan pudo generalizar la noción de transporte paralelo para su clase de conexiones infinitesimales. Esto estableció otro hilo importante en la teoría de las conexiones: que una conexión es un cierto tipo de forma diferencial .
Los dos hilos de la teoría de la conexión han persistido hasta el día de hoy: una conexión como operador diferencial y una conexión como forma diferencial. En 1950, Jean-Louis Koszul ( Koszul 1950 ) dio un marco algebraico para considerar una conexión como un operador diferencial por medio de la conexión Koszul . La conexión de Koszul era más general que la de Levi-Civita, y era más fácil trabajar con ella porque finalmente pudo eliminar (o al menos ocultar) los incómodos símbolos de Christoffel del formalismo de conexión. Las operaciones de desplazamiento paralelo concomitantes también tenían interpretaciones algebraicas naturales en términos de la conexión. La definición de Koszul fue posteriormente adoptada por la mayoría de la comunidad de geometría diferencial, ya que efectivamente convirtió la correspondencia analítica entre diferenciación covariante y traducción paralela en una algebraica .
En ese mismo año, Charles Ehresmann ( Ehresmann 1950 ), un estudiante de Cartan, presentó una variación de la conexión como una vista de forma diferencial en el contexto de los haces principales y, de manera más general, los haces de fibras . Las conexiones de Ehresmann no eran, estrictamente hablando, una generalización de las conexiones de Cartan. Las conexiones de Cartan estaban unidas de manera bastante rígida a la topología diferencial subyacente de la variedad debido a su relación con el método de equivalencia de Cartan . Las conexiones de Ehresmann eran más bien un marco sólido para ver el trabajo fundamental de otros geómetras de la época, como Shiing-Shen Chern , que ya había comenzado a alejarse de las conexiones de Cartan para estudiar lo que podrían llamarse conexiones de calibre . En el punto de vista de Ehresmann, una conexión en un paquete principal consiste en una especificación de campos vectoriales horizontales y verticales en el espacio total del paquete. Una traslación paralela es entonces el levantamiento de una curva desde la base a una curva en el haz principal que es horizontal. Este punto de vista ha demostrado ser especialmente valioso en el estudio de la holonomía .
Posibles enfoques
- Un enfoque bastante directo es especificar cómo actúa una derivada covariante sobre elementos del módulo de campos vectoriales como operador diferencial . De manera más general, se aplica un enfoque similar para las conexiones en cualquier paquete de vectores .
- La notación de índice tradicional especifica la conexión por componentes; ver los símbolos de Christoffel . ( Nota : tiene tres índices, pero no es un tensor ).
- En geometría pseudo-Riemanniana y Riemanniana, la conexión Levi-Civita es una conexión especial asociada al tensor métrico .
- Estos son ejemplos de conexiones afines . También hay un concepto de conexión proyectiva , del cual la derivada Schwarziana en el análisis complejo es un ejemplo. De manera más general, tanto las conexiones afines como las proyectivas son tipos de conexiones de Cartan .
- Utilizando paquetes principales , se puede realizar una conexión como una forma diferencial valorada en álgebra de Lie . Ver conexión (paquete principal) .
- Un enfoque de las conexiones que hace uso directo de la noción de transporte de "datos" (cualquiera que sea) es la conexión de Ehresmann .
- El enfoque más abstracto puede ser el sugerido por Alexander Grothendieck , donde una conexión de Grothendieck se ve como datos de descenso de vecindarios infinitesimales de la diagonal ; ver ( Osserman 2004 ).
Ver también
- Conexión afín
- Conexión Cartan
- Conexión Ehresmann
- Conexión Levi-Civita
- Formulario de conexión
- Conexión (colector de fibra)
- Conexión (paquete principal)
- Conexión (paquete de vectores)
- Conexión (paquete afín)
- Conexión (paquete compuesto)
- Conexión (marco algebraico)
- Teoría del calibre (matemáticas)
Referencias
- Levi-Civita, T .; Ricci, G. (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" , Mathematische Annalen , 54 (1-2): 125-201, doi : 10.1007 / BF01454201
- Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion projective", Bulletin de la Société Mathématique de France , 52 : 205–241, doi : 10.24033 / bsmf.1053 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Cartan, Élie (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica , 48 (1–2): 1–42, doi : 10.1007 / BF02629755
- Cartan, Élie (1983), Geometría de espacios de Riemann , Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Ehresmann, C. (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable , Colloque de Toplogie, Bruxelles, págs. 29–55
- Koszul, JL (1950), "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France , 78 : 65–127, doi : 10.24033 / bsmf.1410
- Lumiste, Ü. (2001) [1994], "Conexión" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Osserman, B. (2004), Connections, curvature, and p-curvature (PDF) , archivado desde el original (PDF) en 2006-12-21 , consultado 2007-02-04
- Mangiarotti, L .; Sardanashntly , G. (2000), Conexiones en la teoría de campos clásica y cuántica , World Scientific, ISBN 981-02-2013-8.
- Morita, Shigeyuki (2001), Geometría de formas diferenciales , AMS, ISBN 0-8218-1045-6
enlaces externos
- Medios relacionados con la conexión (matemáticas) en Wikimedia Commons
- Conexiones en Manifold Atlas