Geodésicas en un elipsoide

Geodesia
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Estándares (historia) NGVD 29 Datum del nivel del mar 1929 OSGB36 Ordnance Survey Gran Bretaña 1936 SK-42 Systema Koordinat 1942 goda ED50 Datum europeo 1950 SAD69 Datum Sudamericano 1969 80 GRS Sistema de referencia geodésico 1980 ISO 6709 Coord de punto geográfico. 1983 NAD 83 Datum norteamericano 1983 WGS 84 Sistema geodésico mundial 1984 NAVD 88 Datum vertical norteamericano 1988 ETRS89 Ref. Terrestre europea Sys. 1989 GCJ-02 Datum ofuscado chino 2002 URI geográfico Enlace de Internet a un punto 2010 Sistema de referencia terrestre internacional Identificador de sistema de referencia espacial (SRID) Mercator transversal universal (UTM)
v t mi

Una geodésica sobre un elipsoide achatado

El estudio de las geodésicas en un elipsoide surgió en conexión con la geodesia específicamente con la solución de redes de triangulación . La figura de la Tierra está bien aproximada por un elipsoide achatado, una esfera ligeramente aplanada. Una geodésica es la ruta más corta entre dos puntos en una superficie curva, análoga a una línea recta en una superficie plana. La solución de una red de triangulación en un elipsoide es, por tanto, un conjunto de ejercicios de trigonometría esferoidal ( Euler 1755 ).

Si la Tierra se trata como una esfera , las geodésicas son grandes círculos (todos los cuales están cerrados) y los problemas se reducen a unos en trigonometría esférica . Sin embargo, Newton (1687) demostró que el efecto de la rotación de la Tierra hace que parezca un elipsoide ligeramente achatado: en este caso, el ecuador y los meridianos son las únicas geodésicas cerradas simples. Además, el camino más corto entre dos puntos del ecuador no corre necesariamente a lo largo del ecuador. Finalmente, si el elipsoide se perturba aún más para convertirse en un elipsoide triaxial (con tres semiejes distintos), solo se cierran tres geodésicas.

Geodésicas en un elipsoide de revolución

Hay varias formas de definir las geodésicas ( Hilbert y Cohn-Vossen 1952 , págs. 220-221). Una definición simple es como el camino más corto entre dos puntos en una superficie. Sin embargo, con frecuencia es más útil definirlos como caminos con curvatura geodésica cero , es decir, el análogo de las líneas rectas.sobre una superficie curva. Esta definición abarca geodésicas que viajan tan lejos a través de la superficie del elipsoide que comienzan a regresar hacia el punto de partida, de modo que otras rutas son más directas e incluye caminos que se cruzan o se vuelven a trazar. Los segmentos suficientemente cortos de una geodésica siguen siendo la ruta más corta entre sus puntos finales, pero las geodésicas no son necesariamente mínimas globalmente (es decir, las más cortas entre todas las rutas posibles). Cada camino globalmente más corto es una geodésica, pero no al revés.

A finales del siglo XVIII, un elipsoide de revolución ( también se utiliza el término esferoide ) era una aproximación bien aceptada a la figura de la Tierra . El ajuste de las redes de triangulación implicó reducir todas las mediciones a un elipsoide de referencia y resolver el problema bidimensional resultante como un ejercicio de trigonometría esferoidal ( Bomford 1952 , Cap. 3) ( Leick et al. 2015 , §4.5).

Fig. 1. Un AB geodésico sobre un elipsoide de revolución. N es el polo norte y EFH se encuentran en el ecuador.

Es posible reducir los diversos problemas geodésicos en uno de dos tipos. Considere dos puntos: A en latitud φ ₁ y longitud λ ₁ y B en latitud φ ₂ y longitud λ ₂ (ver Fig. 1). La geodésica de conexión (de A a B ) es AB , de longitud s ₁₂ , que tiene acimutes α ₁ y α ₂ en los dos extremos. ^[1] Los dos problemas geodésicos que se suelen considerar son:

1. el problema geodésico directo o primer problema geodésico , dado A , α ₁ y s ₁₂ , determina B y α ₂ ;
2. el problema geodésico inverso o segundo problema geodésico , dados A y B , determina s ₁₂ , α ₁ y α ₂ .

Como puede verse en la Fig. 1, estos problemas implican resolver el triángulo NAB dado un ángulo, α ₁ para el problema directo y λ ₁₂ = λ ₂ - λ ₁ para el problema inverso, y sus dos lados adyacentes. Para una esfera, las soluciones a estos problemas son simples ejercicios de trigonometría esférica , cuya solución viene dada por fórmulas para resolver un triángulo esférico . (Consulte el artículo sobre la navegación en círculo máximo ).

Para un elipsoide de revolución, Clairaut (1735) encontró la constante característica que define la geodésica . Legendre (1806) y Oriani (1806) (y artículos posteriores en 1808 y 1810 ) dieron una solución sistemática para los caminos de las geodésicas . Bessel (1825) da la solución completa para el problema directo (con tablas computacionales y un ejemplo resuelto ) .

Durante el siglo XVIII, las geodésicas se denominaban típicamente "líneas más cortas". El término "línea geodésica" (en realidad, una curva ) fue acuñado por Laplace (1799b) :

Nous désignerons cette ligne sous le nom de ligne géodésique [Llamaremos a esta línea la línea geodésica ].

Esta terminología se introdujo en inglés como "línea geodésica" o como "línea geodésica", por ejemplo ( Hutton 1811 ),

Una línea trazada de la manera que hemos estado describiendo, o deducida de medidas trigonométricas, por los medios que hemos indicado, se llama línea geodésica o geodésica: tiene la propiedad de ser la más corta que se puede trazar entre sus dos extremos en la superficie de la Tierra; y, por tanto, es la medida de itinerario adecuada de la distancia entre esos dos puntos.

En su adopción por otros campos , se prefirió la línea geodésica , frecuentemente abreviada a geodésica .

Esta sección trata el problema en un elipsoide de revolución (tanto oblato como prolato). El problema de un elipsoide triaxial se trata en la siguiente sección.

Ecuaciones para una geodésica

Fig. 3. Elemento diferencial de una geodésica sobre un elipsoide.

Aquí se desarrollan las ecuaciones para una geodésica; la derivación sigue de cerca la de Bessel (1825) . Jordan y Eggert (1941) , Bagratuni (1962 , §15), Gan'shin (1967 , Cap.5 ), Krakiwsky y Thomson (1974 , §4), Rapp (1993 , §1.2), Jekeli (2012) , y Borre y Strang (2012) también proporcionan derivaciones de estas ecuaciones.

Considere un elipsoide de revolución con ecuatorial radio de una y polar semi-eje b . Defina el aplanamiento f = ( a - b ) / a , la excentricidad e = √ a ² - b ² / a = √ f (2 - f ) , y la segunda excentricidad e ′ = √ a ² - b ² / b = e / (1 - f ). (En la mayoría de las aplicaciones en geodesia, el elipsoide se considera achatado, a > b ; sin embargo, la teoría se aplica sin cambios a los elipsoides prolongados, a < b , en cuyo caso f , e ² y e ′ ² son negativos).

Supongamos que un segmento elemental de una trayectoria en el elipsoide tiene una longitud ds . De las Figs. 2 y 3, vemos que si su acimut es α , entonces ds está relacionado con d φ y d λ por

(1)${\displaystyle {\color {white}.}\qquad \cos \alpha \,ds=\rho \,d\varphi =-{\frac {dR}{\sin \varphi }},\quad \sin \alpha \,ds=R\,d\lambda ,}$

donde ρ es el radio de curvatura meridional , R = ν cosφ es el radio del círculo de latitud φ y ν es el radio de curvatura normal . Por tanto, el segmento elemental está dado por

${\displaystyle ds^{2}=\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+R^{2}\,d\lambda ^{2}}$

o

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\sqrt {\rho ^{2}\varphi '^{2}+R^{2}}}\,d\lambda \\&\equiv L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,\end{aligned}}}$

donde φ ′ = d φ / d λ y la función lagrangiana L depende de φ a ρ (φ) y R (φ) . La longitud de una ruta arbitraria entre (φ ₁ , λ ₁ ) y (φ ₂ , λ ₂ ) está dada por

${\displaystyle s_{12}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,}$

donde φ es una función de λ que satisface φ (λ ₁ ) = φ ₁ y φ (λ ₂ ) = φ ₂ . El camino más corto o geodésico implica encontrar esa función φ (λ) que minimiza s ₁₂ . Este es un ejercicio de cálculo de variaciones y la condición de minimización viene dada por la identidad Beltrami ,

${\displaystyle L-\varphi '{\frac {\partial L}{\partial \varphi '}}={\text{const.}}}$

Sustituyendo L y usando las ecuaciones. (1) da

${\displaystyle R\sin \alpha ={\text{const.}}}$

Clairaut (1735) encontró esta relación , utilizando una construcción geométrica; Lyusternik (1964 , § 10) presenta una derivación similar . ^{[2] Al} diferenciar esta relación se obtiene

${\displaystyle d\alpha =\sin \varphi \,d\lambda .}$

Esto, junto con las Ecs. (1), conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias para una geodésica

${\displaystyle {\color {white}.}\qquad {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos \alpha }{\rho }};\quad {\frac {d\lambda }{ds}}={\frac {\sin \alpha }{\nu \cos \varphi }};\quad {\frac {d\alpha }{ds}}={\frac {\tan \varphi \sin \alpha }{\nu }}.}$

Podemos expresar R en términos de latitud paramétrica , β , usando

${\displaystyle R=a\cos \beta ,}$

y la relación de Clairaut se convierte en

${\displaystyle \sin \alpha _{1}\cos \beta _{1}=\sin \alpha _{2}\cos \beta _{2}.}$

Fig. 4. Problema geodésico mapeado a la esfera auxiliar.

Fig. 5. El problema geodésico elemental en la esfera auxiliar.

Esta es la regla del seno de la trigonometría esférica que relaciona dos lados del triángulo NAB (ver Fig.4), NA = 1 ⁄ 2 π - β ₁ , y NB = 1 ⁄ 2 π - β ₂ y sus ángulos opuestos B = π - α ₂ y A = α ₁ .

Para encontrar la relación para el tercer lado AB = σ ₁₂ , la longitud del arco esférico y el ángulo incluido N = ω ₁₂ , la longitud esférica , es útil considerar el triángulo NEP que representa una geodésica que comienza en el ecuador; ver Fig. 5. En esta figura, las variables referidas a la esfera auxiliar se muestran con las cantidades correspondientes para el elipsoide mostradas entre paréntesis. Las cantidades sin subíndices se refieren al punto arbitrario P ; E , el punto en el que la geodésica cruza el ecuador en dirección norte, se utiliza como origen para σ , sy ω .

Fig. 6. Elemento diferencial de una geodésica sobre una esfera.

Si el lado EP se extiende moviendo P infinitesimalmente (ver Fig.6), obtenemos

(2)${\displaystyle {\color {white}.}\qquad \cos \alpha \,d\sigma =d\beta ,\quad \sin \alpha \,d\sigma =\cos \beta \,d\omega .}$

Combinando Ecs. (1) y (2) da ecuaciones diferenciales para s y λ

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}.}$

La relación entre β y φ es

${\displaystyle \tan \beta ={\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi =(1-f)\tan \varphi ,}$

lo que da

${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }},}$

de modo que las ecuaciones diferenciales de la geodésica se conviertan en

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}.}$

El último paso es usar σ como parámetro independiente en ambas de estas ecuaciones diferenciales y de este modo para expresar s y λ como integrales. Aplicando la regla del seno a los vértices E y G en el triángulo esférico EGP en la Fig.5 da

${\displaystyle \sin \beta =\sin \beta (\sigma ;\alpha _{0})=\cos \alpha _{0}\sin \sigma ,}$

donde α ₀ es el acimut en E . Sustituyendo esto en la ecuación para ds / d σ e integrando el resultado da

(3)${\displaystyle {\color {white}.}\qquad {\frac {s}{b}}=\int _{0}^{\sigma }{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}\,d\sigma ',}$

donde

${\displaystyle k=e'\cos \alpha _{0},}$

y los límites de la integral se eligen de modo que s (σ = 0) = 0 . Legendre (1811 , p. 180) señaló que la ecuación para s es la misma que la ecuación para el arco en una elipse con semiejes b √ 1 + e ′ ² cos ² α ₀ y b . Para expresar la ecuación de λ en términos de σ , escribimos

${\displaystyle d\omega ={\frac {\sin \alpha _{0}}{\cos ^{2}\beta }}\,d\sigma ,}$

que se sigue de la Ec. (2) y la relación de Clairaut. Esto produce

(4)${\displaystyle {\color {white}.}\qquad \lambda -\lambda _{0}=\omega -f\sin \alpha _{0}\int _{0}^{\sigma }{\frac {2-f}{1+(1-f){\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}}}\,d\sigma ',}$

y los límites de las integrales se eligen de modo que λ = λ ₀ en el cruce del ecuador, σ = 0 .

Esto completa la solución de la trayectoria de una geodésica utilizando la esfera auxiliar. Mediante este dispositivo, un gran círculo se puede asignar exactamente a una geodésica en un elipsoide de revolución.

También hay varias formas de aproximar las geodésicas en un elipsoide terrestre (con un pequeño aplanamiento) ( Rapp 1991 , §6); algunos de ellos se describen en el artículo sobre la distancia geográfica . Sin embargo, estos son típicamente comparables en complejidad al método para la solución exacta ( Jekeli 2012 , §2.1.4).

Comportamiento de las geodésicas

Fig. 7. Los meridianos y el ecuador son las únicas geodésicas cerradas. (Para los elipsoides muy aplanados, hay otras geodésicas cerradas; véanse las Figs. 11 y 12).

Geodésico en un elipsoide achatado ( f = 1 ⁄ 50 ) con α ₀ =45 ° .

Fig. 8. Siguiendo la geodésica sobre el elipsoide durante unos 5 circuitos.

Fig. 9. La misma geodésica después de unos 70 circuitos.

Fig. 10. Geodésica en un elipsoide alargado ( f = - 1 ⁄ 50 ) con α ₀ =45 ° . Compare con la Fig.8.

La Fig. 7 muestra las geodésicas cerradas simples que consisten en los meridianos (verde) y el ecuador (rojo). (Aquí, la calificación "simple" significa que la geodésica se cierra sobre sí misma sin una auto-intersección intermedia). Esto se sigue de las ecuaciones para las geodésicas dadas en la sección anterior.

Todas las demás geodésicas están tipificadas por las Figs. 8 y 9 que muestran una geodésica que comienza en el ecuador con α ₀ = 45 ° . La geodésica oscila alrededor del ecuador. Los cruces ecuatoriales se denominan nodos y los puntos de máxima o mínima latitud se denominan vértices ; las latitudes paramétricas de los vértices están dadas por β = ± ( 1 ⁄ 2 π - | α ₀ |) . La geodésica completa una oscilación completa en latitud antes de que la longitud haya aumentado en360 ° . Por lo tanto, en cada cruce sucesivo del ecuador hacia el norte (ver Fig.8), λ no llega a un circuito completo del ecuador en aproximadamente 2π f sinα ₀ (para un elipsoide alargado, esta cantidad es negativa y λ completa más que un circuito; consulte la Fig.10). Para casi todos los valores de α ₀ , la geodésica llenará esa porción del elipsoide entre las dos latitudes de vértice (ver Fig. 9).

Dos geodésicas cerradas adicionales para el elipsoide achatado, b ⁄ a = 2 ⁄ 7 .

Fig. 11. Vista lateral.

Fig. 12. Vista superior.

Si el elipsoide es suficientemente achatado, es decir, b ⁄ a < 1 ⁄ 2 , es posible otra clase de geodésicas cerradas simples ( Klingenberg 1982 , §3.5.19). Dos de tales geodésicas se ilustran en las Figs. 11 y 12. Aquí b ⁄ a = 2 ⁄ 7 y el acimut ecuatorial, α ₀ , para la geodésica verde (resp. Azul) se elige para ser53,175 ° (resp.75.192 ° ), de modo que la geodésica completa 2 (resp. 3) oscilaciones completas alrededor del ecuador en un circuito del elipsoide.

Fig. 13. Geodésicas (azul) desde un solo punto para f = 1 ⁄ 10 , φ ₁ =−30 ° ; Los círculos geodésicos se muestran en verde y el lugar de corte en rojo.

La Fig.13 muestra geodésicas (en azul) que emanan A con α ₁ un múltiplo de15 ° hasta el punto en el que dejan de ser caminos más cortos. (El aplanamiento se ha aumentado a 1 / 10 con el fin de acentuar los efectos elipsoidales.) También se muestra (en verde) son curvas de constante s ₁₂ , que son los círculos geodésicas centrados A . Gauss (1828) mostró que, en cualquier superficie, la geodésica y el círculo geodésico se cruzan en ángulos rectos. La línea roja es el locus de corte , el lugar geométrico de puntos que tienen múltiples (dos en este caso) geodésicas más cortas desde A . En una esfera, el lugar de corte es un punto. En un elipsoide achatado (mostrado aquí), es un segmento del círculo de latitud centrado en el punto antípodaa A , φ = −φ ₁ . La extensión longitudinal del lugar de corte es aproximadamente λ ₁₂ ∈ [π - f π cosφ ₁ , π + f π cosφ ₁ ] . Si A se encuentra en el ecuador, φ ₁ = 0 , esta relación es exacta y, como consecuencia, el ecuador es solo una geodésica más corta si | λ ₁₂ | ≤ (1 - f ) π . Para un elipsoide alargado, el lugar de corte es un segmento del anti-meridiano centrado en el punto antípoda de A , λ ₁₂ = π, y esto significa que las geodésicas meridionales dejan de ser caminos más cortos antes de que se alcance el punto antípoda.

Propiedades diferenciales de las geodésicas

Varios problemas relacionados con las geodésicas requieren conocer su comportamiento cuando están perturbados. Esto es útil en ajustes trigonométricos ( Ehlert 1993 ), determinando las propiedades físicas de las señales que siguen a las geodésicas, etc. Considere una geodésica de referencia, parametrizada por s , y una segunda geodésica a una pequeña distancia t ( s ) de ella. Gauss (1828) mostró que t ( s ) obedece a la ecuación de Gauss-Jacobi

${\displaystyle {\color {white}.}\qquad \displaystyle {\frac {d^{2}t(s)}{ds^{2}}}=K(s)t(s),}$

Fig. 14. Definición de longitud reducida y escala geodésica.

donde K ( s ) es la curvatura gaussiana en s . Como ecuación diferencial homogénea, lineal y de segundo orden, su solución puede expresarse como la suma de dos soluciones independientes

${\displaystyle t(s_{2})=Cm(s_{1},s_{2})+DM(s_{1},s_{2})}$

donde

${\displaystyle {\begin{aligned}m(s_{1},s_{1})&=0,\quad \left.{\frac {dm(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}=1,\\M(s_{1},s_{1})&=1,\quad \left.{\frac {dM(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}=0.\end{aligned}}}$

La cantidad m ( s ₁ , s ₂ ) = m ₁₂ es la denominada longitud reducida , y M ( s ₁ , s ₂ ) = M ₁₂ es la escala geodésica . ^[3] Sus definiciones básicas se ilustran en la Fig. 14.

La curvatura gaussiana para un elipsoide de revolución es

${\displaystyle K={\frac {1}{\rho \nu }}={\frac {{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}{b^{2}}}={\frac {b^{2}}{a^{4}{\bigl (}1-e^{2}\cos ^{2}\beta {\bigr )}^{2}}}.}$

Helmert (1880 , ecuación (6.5.1.)) Resolvió la ecuación de Gauss-Jacobi para este caso permitiendo que m ₁₂ y M ₁₂ se expresen como integrales.

Como vemos en la Fig. 14 (subfigura superior), la separación de dos geodésicas que comienzan en el mismo punto con acimutes que difieren en d α ₁ es m ₁₂ d α ₁ . En una superficie cerrada como un elipsoide, m ₁₂ oscila alrededor de cero. El punto en el que m _{12 se} convierte en cero es el punto conjugado con el punto de partida. Para que una geodésica entre A y B , de longitud s ₁₂ , sea un camino más corto, debe satisfacer la condición de Jacobi ( Jacobi 1837 ) ( Jacobi 1866 , §6) ( Forsyth 1927, §§26-27) ( dicha de 1916 ), que no hay ningún punto conjugado a A entre A y B . Si no se cumple esta condición, entonces hay un camino cercano (no necesariamente geodésico) que es más corto. Por lo tanto, la condición de Jacobi es una propiedad local de la geodésica y es solo una condición necesaria para que la geodésica sea un camino global más corto. Las condiciones necesarias y suficientes para que una geodésica sea el camino más corto son:

• para un elipsoide achatado, | σ ₁₂ | ≤ π ;
• para un elipsoide alargado, | λ ₁₂ | ≤ π , si α ₀ ≠ 0 ; si α ₀ = 0 , se requiere la condición suplementaria m ₁₂ ≥ 0 si | λ ₁₂ | = π .

Envolvente de geodésicas

Geodésicas de un solo punto ( f = 1 ⁄ 10 , φ ₁ =−30 ° )

Fig. 15. La envolvente de las geodésicas desde un punto A en φ ₁ =−30 ° .

Fig. 16. Las cuatro geodésicas que conectan A y un punto B , φ ₂ =26 ° , λ ₁₂ =175 ° .

Las geodésicas de un punto particular A si continúan más allá del lugar de corte forman una envolvente ilustrada en la Fig.15. Aquí las geodésicas para las cuales α ₁ es un múltiplo de3 ° se muestran en azul claro. (Las geodésicas solo se muestran para su primer paso cerca del punto antípoda, no para los posteriores). Algunos círculos geodésicos se muestran en verde; estos forman cúspides en el sobre. El lugar de corte se muestra en rojo. La envolvente es el lugar geométrico de los puntos que se conjugan con A ; los puntos de la envolvente pueden calcularse encontrando el punto en el que m ₁₂ = 0 en una geodésica. Jacobi (1891) llama astroide a esta figura en forma de estrella producida por el sobre .

Fuera del astroide, dos geodésicas se cruzan en cada punto; por tanto, hay dos geodésicas (con una longitud de aproximadamente la mitad de la circunferencia del elipsoide) entre A y estos puntos. Esto corresponde a la situación en la esfera donde hay rutas "cortas" y "largas" en un gran círculo entre dos puntos. Dentro del astroide, cuatro geodésicas se cruzan en cada punto. En la Fig. 16 se muestran cuatro de estas geodésicas, donde las geodésicas están numeradas en orden de longitud creciente. (Esta figura usa la misma posición para A que la Fig. 13 y está dibujada en la misma proyección). Las dos geodésicas más cortas son estables , es decir, m ₁₂ > 0, de modo que no haya un camino cercano que conecte los dos puntos que es más corto; los otros dos son inestables. Solo la línea más corta (la primera) tiene σ ₁₂ ≤ π . Todas las geodésicas son tangentes a la envolvente que se muestra en verde en la figura.

El astroid es la (exterior) evolute de los círculos geodésicas centrado en A . Asimismo, los círculos geodésicos son involutas del astroide.

Área de un polígono geodésico

Ver también: Mapa de áreas iguales

Un polígono geodésico es un polígono cuyos lados son geodésicos. Es análogo a un polígono esférico , cuyos lados son grandes círculos. El área de dicho polígono se puede encontrar calculando primero el área entre un segmento geodésico y el ecuador, es decir, el área del cuadrilátero AFHB en la Fig. 1 ( Danielsen 1989 ). Una vez que se conoce esta área, el área de un polígono se puede calcular sumando las contribuciones de todos los bordes del polígono.

Aquí se desarrolla una expresión para el área S ₁₂ de AFHB siguiendo a Sjöberg (2006) . El área de cualquier región cerrada del elipsoide es

${\displaystyle T=\int dT=\int {\frac {1}{K}}\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$

donde dT es un elemento de superficie y K es la curvatura gaussiana . Ahora, el teorema de Gauss-Bonnet aplicado a un polígono geodésico establece

${\displaystyle \Gamma =\int K\,dT=\int \cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$

donde

${\displaystyle \Gamma =2\pi -\sum _{j}\theta _{j}}$

es el exceso geodésico y θ _j es el ángulo exterior en el vértice j . Al multiplicar la ecuación para Γ por R ₂ ² , donde R ₂ es el radio autálico , y restar esto de la ecuación para T da

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int {\biggl (}{\frac {1}{K}}-R_{2}^{2}{\biggr )}\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda \\&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int {\Biggl (}{\frac {b^{2}}{{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}}-R_{2}^{2}{\Biggr )}\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,\end{aligned}}}$

donde se ha sustituido el valor de K por un elipsoide . Aplicando esta fórmula al cuadrilátero AFHB , observando que Γ = α ₂ - α ₁ , y realizando la integral sobre φ da

${\displaystyle S_{12}=R_{2}^{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})+b^{2}\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}{\biggl (}{\frac {1}{2{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}}}+{\frac {\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )}{2e\sin \varphi }}-{\frac {R_{2}^{2}}{b^{2}}}{\biggr )}\sin \varphi \,d\lambda ,}$

donde la integral está sobre la línea geodésica (de modo que φ es implícitamente una función de λ ). La integral se puede expresar como una serie válida para f pequeña ( Danielsen 1989 ) ( Karney 2013 , §6 y apéndice).

El área de un polígono geodésico se obtiene sumando S ₁₂ sobre sus bordes. Este resultado es válido siempre que el polígono no incluya un poste; si es así, se debe sumar 2π R ₂ ² a la suma. Si los bordes se especifican por sus vértices, entonces una expresión conveniente para el exceso geodésico E ₁₂ = α ₂ - α ₁ es

${\displaystyle \tan {\frac {E_{12}}{2}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}+\beta _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}-\beta _{1})}}\tan {\frac {\omega _{12}}{2}}.}$

Solución de problemas directos e inversos

Ver también: Azimut § En geodesia y Distancia geográfica § Fórmulas de superficie elipsoidal

Resolver los problemas geodésicos implica mapear la geodésica en la esfera auxiliar y resolver el problema correspondiente en la navegación de círculo máximo . Al resolver el triángulo esférico "elemental" para NEP en la Fig. 5, se pueden emplear las reglas de Napier para triángulos cuadrantes ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha _{0}&=\sin \alpha \cos \beta =\tan \omega \cot \sigma ,\\\cos \sigma &=\cos \beta \cos \omega =\tan \alpha _{0}\cot \alpha ,\\\cos \alpha &=\cos \omega \cos \alpha _{0}=\cot \sigma \tan \beta ,\\\sin \beta &=\cos \alpha _{0}\sin \sigma =\cot \alpha \tan \omega ,\\\sin \omega &=\sin \sigma \sin \alpha =\tan \beta \tan \alpha _{0}.\end{aligned}}}$

El mapeo de la geodésica implica evaluar las integrales para la distancia, s , y la longitud, λ , Ecs. (3) y (4) y estos dependen del parámetro α ₀ .

Manejar el problema directo es sencillo, porque α ₀ se puede determinar directamente a partir de las cantidades dadas φ ₁ y α ₁ .

En el caso del problema inverso, se da λ ₁₂ ; esto no puede relacionarse fácilmente con el ángulo esférico equivalente ω ₁₂ porque se desconoce α ₀ . Por tanto, la solución del problema requiere que α ₀ se encuentre iterativamente.

En aplicaciones geodésicas, donde f es pequeña, las integrales se evalúan típicamente como una serie ( Legendre 1806 ) ( Oriani 1806 ) ( Bessel 1825 ) ( Helmert 1880 ) ( Rainsford 1955 ) ( Rapp 1993 ). Para f arbitraria , las integrales (3) y (4) se pueden encontrar por cuadratura numérica o expresándolas en términos de integrales elípticas ( Legendre 1806 ) ( Cayley 1870 ).

Vincenty (1975) proporciona soluciones para los problemas directos e inversos; Estos se basan en una expansión en serie llevada a cabo a tercer orden en el aplanamiento y proporcionan una precisión de aproximadamente0,1 mm para el elipsoide WGS84 ; sin embargo, el método inverso no logra converger para los puntos casi antípodas. Karney (2013) continúa las expansiones hasta el sexto orden, lo que es suficiente para proporcionar una precisión de doble precisión completa para | f | ≤ 1 ⁄ 50 y mejora la solución del problema inverso para que converja en todos los casos. Karney (2013 , apéndice) amplía el método para utilizar integrales elípticas que se pueden aplicar a elipsoides con aplanamiento arbitrario.

Geodésicas en un elipsoide triaxial

Resolver el problema geodésico para un elipsoide de revolución es, desde el punto de vista matemático, relativamente simple: debido a la simetría, las geodésicas tienen una constante de movimiento , dada por la relación de Clairaut que permite reducir el problema a cuadratura . A principios del siglo XIX (con el trabajo de Legendre, Oriani , Bessel, et al.), Había una comprensión completa de las propiedades de las geodésicas en un elipsoide de revolución.

Por otro lado, las geodésicas en un elipsoide triaxial (con tres ejes desiguales) no tienen una constante obvia del movimiento y, por lo tanto, representaron un problema desafiante sin resolver en la primera mitad del siglo XIX. En un artículo notable, Jacobi (1839) descubrió una constante del movimiento que permitía reducir este problema a la cuadratura también ( Klingenberg 1982 , §3.5). ^[4]

Sistema de coordenadas elipsoide triaxial

Ver también: Coordenadas elipsoidales (geodesia)

Fig. 17. Coordenadas elipsoidales triaxiales.

Considere el elipsoide definido por

${\displaystyle h={\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {Z^{2}}{c^{2}}}=1,}$

donde ( X , Y , Z ) son coordenadas cartesianas centradas en el elipsoide y, sin pérdida de generalidad, a ≥ b ≥ c > 0 . ^[5]Jacobi (1866 , §§26-27) empleó las coordenadas elipsoidales (triaxiales) (con latitud elipsoidal triaxial y longitud elipsoidal triaxial , β, ω ) definidas por

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=a\cos \omega {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}},\\Y&=b\cos \beta \sin \omega ,\\Z&=c\sin \beta {\frac {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}.\end{aligned}}}$

En el límite b → a , β se convierte en la latitud paramétrica de un elipsoide achatado, por lo que el uso del símbolo β es consistente con las secciones anteriores. Sin embargo, ω es diferente de la longitud esférica definida anteriormente. ^[6]

Las líneas de la cuadrícula de constante β (en azul) y ω (en verde) se dan en la Fig. 17. Éstas constituyen un sistema de coordenadas ortogonales : las líneas de la cuadrícula se cruzan en ángulos rectos. Las secciones principales del elipsoide, definidas por X = 0 y Z = 0, se muestran en rojo. La tercera sección principal, Y = 0 , está cubierta por las líneas β = ± 90 ° y ω = 0 ° o ± 180 ° . Estas líneas se encuentran en cuatro puntos umbilicales (dos de los cuales son visibles en esta figura) donde los principales radios de curvaturason iguales. Aquí y en las otras figuras de esta sección, los parámetros del elipsoide son a : b : c = 1.01: 1: 0.8 , y se ve en una proyección ortográfica desde un punto por encima de φ = 40 ° , λ = 30 ° .

Las líneas de cuadrícula de las coordenadas elipsoidales se pueden interpretar de tres formas diferentes:

1. Son "líneas de curvatura" en el elipsoide: son paralelas a las direcciones de la curvatura principal ( Monge 1796 ).
2. También son intersecciones del elipsoide con sistemas confocales de hiperboloides de una y dos hojas ( Dupin 1813 , Parte 5 ).
3. Finalmente, son elipses e hipérbolas geodésicas definidas utilizando dos puntos umbilicales adyacentes ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 , p. 188). Por ejemplo, las líneas de constante β en la Fig. 17 se pueden generar con la construcción de cuerda familiar para elipses con los extremos de la cuerda clavados en los dos puntos umbilicales.

La solución de Jacobi

Jacobi demostró que las ecuaciones geodésicas, expresadas en coordenadas elipsoidales, son separables. Así es como le contó su descubrimiento a su amigo y vecino Bessel ( Jacobi 1839 , Carta a Bessel):

Anteayer reduje a cuadratura el problema de las líneas geodésicas en un elipsoide con tres ejes desiguales . Son las fórmulas más simples del mundo, las integrales abelianas , que se convierten en las bien conocidas integrales elípticas si 2 ejes se igualan.

Königsberg , 28 de diciembre de '38.

La solución dada por Jacobi ( Jacobi 1839 ) ( Jacobi 1866 , §28) es

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta &=\int {\frac {{\sqrt {b^{2}\sin ^{2}\beta +c^{2}\cos ^{2}\beta }}\,d\beta }{{\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {{\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta -\gamma }}}}\\[6pt]&\quad -\int {\frac {{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega }}\,d\omega }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigr )}\sin ^{2}\omega +\gamma }}}}.\end{aligned}}}$

Como señala Jacobi, "una función del ángulo β es igual a una función del ángulo ω . Estas dos funciones son simplemente integrales abelianas ..." En la solución aparecen dos constantes δ y γ . Normalmente, δ es cero si los límites inferiores de las integrales se toman como el punto de partida de la geodésica y la dirección de las geodésicas está determinada por γ . Sin embargo, para las geodésicas que comienzan en un punto umbilical, tenemos γ = 0 y δ determina la dirección en el punto umbilical. La constante γ puede expresarse como

${\displaystyle \gamma ={\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta \sin ^{2}\alpha -{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigl )}\sin ^{2}\omega \cos ^{2}\alpha ,}$

donde α es el ángulo que forma la geodésica con líneas de constante ω . En el límite b → a , esto se reduce a sinα cosβ = const. , la familiar relación de Clairaut. Darboux (1894 , §§583–584) da una derivación del resultado de Jacobi ; da la solución encontrada por Liouville (1846) para superficies cuadráticas generales.

Estudio de geodésicas triaxiales

Geodésicas circumpolares, ω ₁ =0 ° , α ₁ =90 ° .

Figura 18. β ₁ =45,1 ° .

Fig. 19. β ₁ =87,48 ° .

En un elipsoide triaxial, solo hay tres geodésicas cerradas simples, las tres secciones principales del elipsoide dadas por X = 0 , Y = 0 y Z = 0 . ^[7] Para estudiar las otras geodésicas, es conveniente considerar las geodésicas que intersecan la sección principal central, Y = 0 , en ángulos rectos. Tales geodésicas se muestran en las Figs. 18-22, que utilizan los mismos parámetros de elipsoide y la misma dirección de visión que la Fig. 17. Además, las tres elipses principales se muestran en rojo en cada una de estas figuras.

Si el punto de partida es β ₁ ∈ (−90 °, 90 °) , ω ₁ = 0 y α ₁ = 90 ° , entonces γ> 0 y la geodésica rodea el elipsoide en un sentido "circumpolar". La geodésica oscila al norte y al sur del ecuador; en cada oscilación completa un poco menos de un circuito completo alrededor del elipsoide, lo que da como resultado, en el caso típico, que la geodésica llene el área delimitada por las dos líneas de latitud β = ± β ₁ . Se dan dos ejemplos en las Figs. 18 y 19. La Figura 18 muestra prácticamente el mismo comportamiento que para un elipsoide achatado de revolución (porque a ≈ b); compárese con la Fig. 9. Sin embargo, si el punto de partida está en una latitud más alta (Fig. 18), las distorsiones resultantes de a ≠ b son evidentes. Todas las tangentes a una geodésica circumpolar tocan el hiperboloide confocal de una sola hoja que cruza el elipsoide en β = β ₁ ( Chasles 1846 ) ( Hilbert y Cohn-Vossen 1952 , págs. 223-224).

Geodésicas transpolares, β ₁ =90 ° , α ₁ =180 ° .

Figura 20. ω ₁ =39,9 ° .

Figura 21. ω ₁ =9,966 ° .

Si el punto de partida es β ₁ = 90 ° , ω ₁ ∈ (0 °, 180 °) y α ₁ = 180 ° , entonces γ <0 y la geodésica rodea el elipsoide en un sentido "transpolar". La geodésica oscila al este y oeste de la elipse X = 0 ; en cada oscilación completa un poco más de un circuito completo alrededor del elipsoide. En el caso típico, esto da como resultado que la geodésica llene el área delimitada por las dos líneas de longitud ω = ω ₁ y ω = 180 ° - ω ₁ . Si a = b , todos los meridianos son geodésicos; el efecto de un≠ b hace que dichas geodésicas oscilen de este a oeste. Se dan dos ejemplos en las Figs. 20 y 21. La constricción de la geodésica cerca del polo desaparece en el límite b → c ; en este caso, el elipsoide se convierte en un elipsoide alargado y la figura 20 se parecería a la figura 10 (girada de lado). Todas las tangentes a una geodésica transpolar tocan el hiperboloide confocal de doble hoja que corta al elipsoide en ω = ω ₁ .

Fig. 22. Una geodésica umbilical, β ₁ =90 ° , ω ₁ =0 ° , α ₁ =135 ° .

Si el punto de partida es β ₁ = 90 ° , ω ₁ = 0 ° (un punto umbilical) y α ₁ = 135 ° (la geodésica deja la elipse Y = 0 en ángulo recto), entonces γ = 0 y la geodésica repetidamente intersecta el punto umbilical opuesto y vuelve a su punto de partida. Sin embargo, en cada circuito el ángulo en el que se cruza Y = 0 se acerca más a0 ° o180 ° de modo que asintóticamente la geodésica se encuentra en la elipse Y = 0 ( Hart 1849 ) ( Arnold 1989 , p. 265), como se muestra en la Fig. 22. Una sola geodésica no llena un área en el elipsoide. Todas las tangentes a las geodésicas umbilicales tocan la hipérbola confocal que cruza el elipsoide en los puntos umbilicales.

Las geodésicas umbilicales gozan de varias propiedades interesantes.

• A través de cualquier punto del elipsoide, hay dos geodésicas umbilicales.
• La distancia geodésica entre puntos umbilicales opuestos es la misma independientemente de la dirección inicial de la geodésica.
• Mientras que las geodésicas cerradas en las elipses X = 0 y Z = 0 son estables (una geodésica inicialmente cercana y casi paralela a la elipse permanece cerca de la elipse), la geodésica cerrada en la elipse Y = 0 , que atraviesa los 4 puntos umbilicales, es exponencialmente inestable . Si está perturbado, se saldrá del plano Y = 0 y se dará la vuelta antes de volver a acercarse al plano. (Este comportamiento puede repetirse dependiendo de la naturaleza de la perturbación inicial).

Si el punto inicial A de una geodésica no es un punto umbilical, su envoltura es un astroide con dos cúspides en β = −β ₁ y las otras dos en ω = ω ₁ + π . El lugar de corte de A es la parte de la línea β = −β ₁ entre las cúspides.

Aplicaciones

Los problemas geodésicos directos e inversos ya no juegan el papel central en la geodesia que alguna vez tuvieron. En lugar de resolver el ajuste de las redes geodésicas como un problema bidimensional en la trigonometría esferoidal, estos problemas ahora se resuelven mediante métodos tridimensionales ( Vincenty y Bowring 1978 ). Sin embargo, las geodésicas terrestres todavía juegan un papel importante en varias áreas:

• para medir distancias y áreas en sistemas de información geográfica ;
• la definición de límites marítimos ( UNCLOS 2006 );
• en las reglas de la Administración Federal de Aviación para navegación de área ( RNAV 2007 );
• el método de medición de distancias en el FAI Código Deportivo ( FAI 2018 ).
• ayudar a los musulmanes a encontrar su dirección hacia La Meca

Por el principio de acción mínima , muchos problemas de la física pueden formularse como un problema variacional similar al de las geodésicas. De hecho, el problema geodésico es equivalente al movimiento de una partícula obligada a moverse en la superficie, pero por lo demás no sujeta a fuerzas ( Laplace 1799a ) ( Hilbert y Cohn-Vossen 1952 , p. 222). Por esta razón, las geodésicas en superficies simples como elipsoides de revolución o elipsoides triaxiales se utilizan con frecuencia como "casos de prueba" para explorar nuevos métodos. Ejemplos incluyen:

• el desarrollo de integrales elípticas ( Legendre 1811 ) y funciones elípticas ( Weierstrass 1861 );
• el desarrollo de la geometría diferencial ( Gauss 1828 ) ( Christoffel 1869 );
• métodos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales mediante un cambio de variables independientes ( Jacobi 1839 );
• el estudio de la cáustica ( Jacobi 1891 );
• investigaciones sobre el número y la estabilidad de las órbitas periódicas ( Poincaré 1905 );
• en el límite c → 0 , las geodésicas en un elipsoide triaxial se reducen a un caso de billar dinámico ;
• extensiones a un número arbitrario de dimensiones ( Knörrer 1980 );
• flujo geodésico en una superficie ( Berger 2010 , Cap. 12).

Ver también

• Caminos de la sección de la tierra
• Figura de la Tierra
• Distancia geográfica
• Navegación de gran círculo
• Gran elipse
• Geodésico
• Geodesia
• Proyección cartográfica
  • Proyección cartográfica del elipsoide triaxial
• Arco meridiano
• Línea de rumbo
• Las fórmulas de Vincenty

Notas

1. Aquí α ₂ es el avance de azimut en B . En cambio, algunos autores calculan elazimut posterior ; esto viene dado por α ₂ ± π .
2. Laplace (1799a) mostró que una partícula obligada a moverse sobre una superficie pero que por lo demás no está sujeta a fuerzas se mueve a lo largo de una geodésica para esa superficie. Por lo tanto, la relación de Clairaut es solo una consecuencia de la conservación del momento angular de una partícula en una superficie de revolución.
3. Bagratuni (1962 , §17) usa el término "coeficiente de convergencia de ordenadas" para la escala geodésica.
4. Esta sección está adaptada de la documentación de GeographicLib ( Karney 2015 , Geodesics on a triaxial elipsoide )
5. Esta notación para los semi-ejes es incompatible con el utilizado en la sección anterior sobre elipsoides de revolución en la que una y b representaba el radio ecuatorial y semi-eje polar. Por tanto, las desigualdades correspondientes son a = a ≥ b > 0 para un elipsoide achatado y b ≥ a = a > 0 para un elipsoide alargado.
6. El límite b → c da un elipsoide alargado con ω desempeñando el papel de la latitud paramétrica.
7. Si c ⁄ a < 1 ⁄ 2 , existen otras geodésicas cerradas simples similares a las que se muestran en las Figs. 11 y 12 ( Klingenberg 1982 , §3.5.19).

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enlaces externos

• Bibliografía geodésica en línea de libros y artículos sobre geodésicas en elipsoides.
• Conjunto de prueba para geodésicas , un conjunto de 500000 geodésicas para el elipsoide WGS84, calculado utilizando aritmética de alta precisión.
• Implementación de la herramienta NGS Vincenty (1975) .
• geod (1) , página de manual de la utilidad PROJ para cálculos geodésicos.
• Implementación de GeographicLib de Karney (2013) .
• Dibujar geodésicas en Google Maps.