Condición de coincidencia de anomalías

Principio de la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos , la condición de coincidencia de anomalías ^[1] de Gerard 't Hooft establece que el cálculo de cualquier anomalía quiral para la simetría de sabor no debe depender de la escala elegida para el cálculo si se realiza utilizando los grados de libertad de la teoría a alguna escala energética. También se conoce como la condición 't Hooft y la condición de coincidencia de anomalías UV-IR' t Hooft . ^[a]

Anomalías de 't Hooft

Hay dos tipos de obstrucciones estrechamente relacionadas pero diferentes para formular una teoría cuántica de campos que se denominan anomalías: anomalías quirales o de Adler-Bell-Jackiw y anomalías de ' t Hooft .

Si decimos que la simetría de la teoría tiene una anomalía de ' t Hooft , significa que la simetría es exacta como una simetría global de la teoría cuántica, pero existe algún impedimento para usarla como indicador en la teoría. ^[2]

Como ejemplo de una anomalía de 't Hooft, consideramos la cromodinámica cuántica con${\displaystyle N_{f}}$ fermiones sin masa: este es el ${\displaystyle SU(N_{c})}$ teoría del calibre con ${\displaystyle N_{f}}$fermiones de Dirac sin masa . Esta teoría tiene la simetría global${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$, que a menudo se llama simetría de sabor, y esto tiene una anomalía de 't Hooft.

Coincidencia de anomalías para simetría continua

La condición de coincidencia de anomalías de G. 't Hooft propone que una anomalía de simetría continua de' t Hooft se puede calcular tanto en los grados de libertad de alta y baja energía (“UV” e “IR” ^[a] ) y dar la misma respuesta.

Ejemplo

Por ejemplo, considere la cromodinámica cuántica con N _f quarks sin masa . Esta teoría tiene la simetría de sabor SU ( N _f ) _L × SU ( N _f ) _R × U (1) _V ^[b] Esta simetría de sabor SU ( N _f ) _L × SU ( N _f ) _R × U (1) _V se vuelve anómalo cuando se introduce el campo de indicador de fondo. Se pueden usar los grados de libertad en el límite de energía muy bajo (lejos "IR" ^[a]) o los grados de libertad en el límite de energía muy alto ("UV" lejano ^[a] ) para calcular la anomalía. En el primer caso, solo se deben considerar los fermiones sin masa o los bosones de Nambu-Goldstone, que pueden ser partículas compuestas, mientras que en el último caso solo se deben considerar los fermiones elementales de la teoría subyacente de distancias cortas. En ambos casos, la respuesta debe ser la misma. De hecho, en el caso de QCD , se produce la ruptura de la simetría quiral y el término Wess-Zumino-Witten para los bosones Nambu-Goldstone reproduce la anomalía. ^[3]

Prueba

Uno prueba esta condición mediante el siguiente procedimiento: ^[1] podemos agregar a la teoría un campo de calibre que se acopla a la corriente relacionada con esta simetría, así como fermiones quirales que se acoplan sólo a este campo de calibre , y cancelan la anomalía (entonces que la simetría de la galga seguirá siendo no anómala , según sea necesario para la coherencia).

En el límite donde las constantes de acoplamiento que hemos agregado van a cero, se vuelve a la teoría original, más los fermiones que agregamos; los últimos siguen siendo buenos grados de libertad en todas las escalas de energía, ya que son fermiones libres en este límite. La anomalía de la simetría del indicador se puede calcular en cualquier escala de energía y siempre debe ser cero, para que la teoría sea coherente. Ahora se puede obtener la anomalía de la simetría en la teoría original restando los fermiones libres que hemos agregado, y el resultado es independiente de la escala de energía.

Prueba alternativa

Otra forma de probar la coincidencia de anomalías para simetrías continuas es utilizar el mecanismo de entrada de anomalías. ^[4] Para ser específicos, consideramos el espacio-tiempo de cuatro dimensiones a continuación.

Para simetrías continuas globales ${\displaystyle G}$, introducimos el campo de indicador de fondo ${\displaystyle A}$ y calcular la acción efectiva ${\displaystyle \Gamma [A]}$. Si hay una anomalía 't Hooft para${\displaystyle G}$, la acción efectiva ${\displaystyle \Gamma [A]}$ no es invariante bajo el ${\displaystyle G}$ Transformación de calibre en el campo de calibre de fondo ${\displaystyle A}$ y no se puede restaurar agregando ningún contratérmino local de cuatro dimensiones de ${\displaystyle A}$. La condición de consistencia de Wess-Zumino ^[5] muestra que podemos hacer que sea invariante al agregar la acción de Chern-Simons de cinco dimensiones .

Con la dimensión extra, ahora podemos definir la acción efectiva ${\displaystyle \Gamma [A]}$utilizando la teoría efectiva de baja energía que solo contiene los grados de libertad sin masa integrando campos masivos. Dado que nuevamente debe ser invariante de calibre agregando el mismo término de Chern-Simons de cinco dimensiones, la anomalía de 't Hooft no cambia integrando grados masivos de libertad.

Ver también

• 't Hooft – Polyakov monopolo
• 't operador Hooft
• símbolo de 't Hooft

Notas

1. En el contexto de la teoría cuántica de campos, "UV" en realidad significa el límite de alta energía de una teoría, e "IR" significa el límite de baja energía, por analogía con las periferias superior e inferior de la luz visible, pero no significa realmente ni luz ni esas energías particulares.
2. La simetría axial U (1) se rompe por la anomalía quiral o los instantones, por lo que no se incluye en el ejemplo.

Referencias

1. 't Hooft, G. (1980). "Naturalidad, simetría quiral y ruptura espontánea de la simetría quiral". En 't Hooft, G. (ed.). Desarrollos recientes en las teorías del calibre . Plenum Press . ISBN 978-0-306-40479-5.
2. Kapustin, A .; Thorngren, R. (2014). "Simetrías discretas anómalas en tres dimensiones y cohomología de grupo". Cartas de revisión física . 112 (23): 231602. arXiv : 1403.0617 . Código Bibliográfico : 2014PhRvL.112w1602K . doi : 10.1103 / PhysRevLett.112.231602 .
3. Frishman, Y .; Scwimmer, A .; Banks, T .; Yankielowicz, S. (1981). "La anomalía axial y el espectro de estado ligado en teorías confinantes" . Física B nuclear . 177 (1): 157-171. Código Bibliográfico : 1981NuPhB.177..157F . doi : 10.1016 / 0550-3213 (81) 90268-6 .
4. Callan, Jr., CG; Harvey, JA (1985). "Anomalías y modos de fermión cero en cadenas y paredes de dominio". Física B nuclear . 250 (1–4): 427–436. Código Bibliográfico : 1985NuPhB.250..427C . doi : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90489-4 .
5. Wess, J .; Zumino, B. (1971). "Consecuencias de identidades de sala anómalas" . Physics Letters B . 37 (1): 95. Bibcode : 1971PhLB ... 37 ... 95W . doi : 10.1016 / 0370-2693 (71) 90582-X .