En física teórica , una anomalía de gauge es un ejemplo de anomalía : es una característica de la mecánica cuántica —usualmente un diagrama de un bucle— que invalida la simetría de gauge de una teoría cuántica de campos ; es decir, de una teoría del calibre . [1]
Todas las anomalías del medidor deben anularse. Las anomalías en las simetrías de gauge [2] conducen a una inconsistencia, ya que se requiere una simetría de gauge para cancelar grados de libertad con una norma negativa que no son físicos (como un fotón polarizado en la dirección del tiempo). De hecho, la cancelación se produce en el modelo estándar .
El término anomalía de indicador se usa generalmente para anomalías de indicador vectorial. Otro tipo de anomalía de calibre es la anomalía gravitacional , porque la reparametrización de coordenadas (llamada difeomorfismo ) es la simetría de calibre de la gravitación .
Cálculo de la anomalía
Las anomalías ocurren solo en dimensiones espaciotemporales pares. Por ejemplo, las anomalías en las 4 dimensiones habituales del espacio-tiempo surgen de los diagramas triangulares de Feynman.
Anomalías del indicador vectorial
En anomalías de calibre vectorial (en simetrías de calibre cuyo bosón de calibre es un vector), la anomalía es una anomalía quiral y se puede calcular exactamente en un nivel de bucle, mediante un diagrama de Feynman con un fermión quiral que se ejecuta en el ciclo con n bosones de calibre externos. adjunto al bucle donde dónde es la dimensión del espacio-tiempo .
Veamos la acción (semi) efectiva que obtenemos después de integrar sobre los fermiones quirales . Si hay una anomalía de calibre, la acción resultante no será invariante de calibre. Si denotamos porel operador correspondiente a una transformación de calibre infinitesimal por ε, entonces la condición de consistencia de Frobenius requiere que
para cualquier funcional , incluida la acción (semi) eficaz S donde [,] es el corchete de Lie . Como es lineal en ε, podemos escribir
donde Ω (d) tiene forma d como funcional de los campos no integrados y es lineal en ε. Hagamos el supuesto adicional (que resulta ser válido en todos los casos de interés) de que este funcional es local (es decir, Ω (d) (x) solo depende de los valores de los campos y sus derivadas en x) y que se puede expresar como el producto exterior de las formas p. Si el espacio-tiempo M d es cerrado (es decir, sin límite) y está orientado, entonces es el límite de alguna variedad D + 1 orientada dimensionalmente M d + 1 . Si luego extendemos arbitrariamente los campos (incluido ε) como se define en M d a M d + 1 con la única condición de que coincidan en los límites y la expresión Ω (d) , que es el producto exterior de las formas p, puede ser extendido y definido en el interior, entonces
La condición de consistencia de Frobenius ahora se convierte en
Como la ecuación anterior es válida para cualquier extensión arbitraria de los campos hacia el interior,
Debido a la condición de consistencia de Frobenius, esto significa que existe una forma d + 1 Ω (d + 1) (que no depende de ε) definida sobre M d + 1 que satisface
Ω (d + 1) a menudo se denomina forma de Chern-Simons .
Una vez más, si asumimos que Ω (d + 1) se puede expresar como un producto exterior y que se puede extender a una forma d + 1 en una variedad orientada dimensional d + 2, podemos definir
en d + 2 dimensiones. Ω (d + 2) es invariante de calibre:
a medida que d y δ ε conmutan.