Alan Jerome Hoffman (30 de mayo de 1924-18 de enero de 2021) fue un matemático estadounidense e IBM Fellow emérito, TJ Watson Research Center , IBM, en Yorktown Heights, Nueva York . Fue el editor fundador de la revista Linear Algebra and its Applications , y fue titular de varias patentes. Contribuyó a la optimización combinatoria y la teoría de gráficos de valores propios. Hoffman y Robert Singleton construyeron el gráfico Hoffman-Singleton , que es el único gráfico de Moore de grado 7 y diámetro 2. [2]
Alan Hoffman | |
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Nació | [1] Nueva York , Nueva York, EE. UU. | 30 de mayo de 1924
Fallecido | 18 de enero de 2021 | (96 años)
Nacionalidad | americano |
alma mater | Universidad de Colombia |
Premios | Premio de teoría John von Neumann (1992) |
Carrera científica | |
Campos | Matemáticas |
Instituciones | Thomas J. Watson Research Center City University of New York |
Tesis | Sobre los fundamentos de la geometría de inversión (1950) |
Asesor de doctorado | Edgar Lorch |
Hoffman murió el 18 de enero de 2021 a la edad de 96 años. [3] [4]
Vida temprana
Alan Hoffman nació y se crió en la ciudad de Nueva York, residiendo primero en Bensonhurst, Brooklyn y luego en el Upper West Side de Manhattan, con su hermana Mildred y sus padres Muriel y Jesse. Alan supo desde temprana edad que quería una carrera en matemáticas. Fue un buen estudiante en todas las disciplinas, y se inspiró tanto en las artes liberales como en las ciencias. Pero estaba cautivado por el rigor del razonamiento deductivo que se encuentra en las matemáticas. Se graduó de George Washington High School en 1940 e ingresó a la Universidad de Columbia ese otoño, con una beca Pulitzer en 1940 a la edad de 16 años.
Educación
--- En Columbia, Hoffman se unió al Consejo de Debate, en parte para superar su miedo a hablar en público, y participó activamente en ambos movimientos para aumentar el apoyo estadounidense a los Aliados en la creciente guerra contra el Eje, y en el movimiento para tener a Estados Unidos directamente. entrar en la guerra. Aunque su trabajo de curso consistió principalmente en matemáticas, incluidas clases pequeñas con luminarias en el campo, también estudió filosofía, literatura e historia de los gobiernos.
La Segunda Guerra Mundial interrumpió los estudios de Hoffman, pero no su interés por las matemáticas. Fue llamado al servicio en febrero de 1943 y sirvió en el ejército de los EE. UU. Desde 1943 hasta 1946, pasando tiempo tanto en Europa como en el Pacífico. Hoffman se refiere elocuentemente a estos tres años como "el evento climático de mi vida, con una aventura magnificada por la sensibilidad de la juventud".
Mientras cursaba la formación básica en la escuela de artillería antiaérea, consideró la posibilidad de desarrollar axiomas para la geometría de los círculos. Incapaz de dibujar, llevaba en la cabeza una visión de las configuraciones en el espacio (puntos, círculos y esferas) que representaban fenómenos análogos a la geometría de las líneas. Estas ideas se convertirían más tarde en la génesis de su tesis doctoral sobre los fundamentos de la geometría de inversión. La experiencia de desarrollar ideas en la mente en lugar de en papel o en la pizarra siguió siendo una práctica a lo largo de su carrera, una práctica que no recomendó a otros, pero que sirvió a su mente única notablemente.
Después de un entrenamiento adicional del Ejército, Hoffman se convirtió en instructor en la escuela de metrología antiaérea [IL1] [2] , enseñando trigonometría básica utilizada para rastrear globos para trazar y deducir vientos en el aire. Después de una formación adicional en Ingeniería Eléctrica en la Universidad de Maine y en los rudimentos de la telefonía de palangre, Hoffman fue asignado al 8186 ° Batallón de Servicio de Señales y enviado al teatro europeo en diciembre de 1944, cuando la guerra se acercaba a su fin. Pasó un breve período en el teatro del Pacífico antes de regresar a casa en febrero de 1946. Durante su tiempo en el extranjero, él y otros enseñaron algunas matemáticas en pequeños cursos autoorganizados y registró sus incursiones en la geometría circular para compartir con los profesores de Columbia.
Al regresar a Columbia en el otoño de 1946, Hoffman fue asignado a impartir un curso de encuesta matemática en el Columbia College of Pharmacy. Consideró esto como una oportunidad para mejorar sus habilidades pedogeológicas [3] y determinar si la carrera planificada en la enseñanza universitaria sería la opción más adecuada. Durante ese año académico, ganó confianza y habilidades en su enseñanza, cristalizó sus ideas sobre los axiomas de la geometría circular y le propuso matrimonio a Esther Walker, la hermana de un amigo del ejército. Hoffman comenzó sus estudios de posgrado en Columbia, en el otoño de 1947, "rebosante de confianza".
Carrera temprana
--- Después de completar con éxito los exámenes y defender su tesis doctoral sobre los fundamentos de la geometría de inversión en 1950, Hoffman pasó un año postdoctoral en el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton patrocinado por la Oficina de Investigación Naval. Durante este año estableció un ritmo para su trabajo, basado en el mantra “Eres matemático, haces matemáticas”.
Al final del año postdoctoral, sin haber obtenido una cita académica en ningún lugar donde le gustaría vivir, Hoffman se unió a la División de Matemáticas Aplicadas de la Oficina Nacional de Estándares (NBS, ahora el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología) en Washington DC. Esta elección, defendida por amigos y colegas, fue fortuita. "Todo el arco de mi carrera se basa en la experiencia de los cinco años que pasé en Washington en NBS". Hoffman había sido contratado para ayudar a cumplir un contrato (Proyecto SCOOP) con la Oficina del Controlador Aéreo de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos para llevar a cabo un programa de investigación y computación en un área de la que nunca había oído hablar: la programación lineal. Hoffman encontró el tema nuevo (tanto para él como para el mundo) "una deliciosa combinación de desafío y diversión".
Hoffman aprendió la programación lineal de George Dantzig, quien creía que su trabajo ayudaría a las organizaciones a operar de manera más eficiente a través del uso de las matemáticas, un concepto que ahora, 70 años después, continúa realizándose [IL4] . A través de este trabajo, Hoffman estuvo expuesto a conceptos comerciales de consultoría de gestión, fabricación y finanzas, áreas que disfrutaba, pero en las que nunca se sentía completamente como en casa. A través del Proyecto SCOOP, Hoffman se familiarizó con otros notables de la investigación de operaciones como Richard Bellman y Harold Kuhn. Aunque el código que escribió en 1951 "simplemente no funcionó", una experiencia tan desalentadora que nunca escribió otro programa, Hoffman y sus coautores publicaron un artículo que mostraba, basado en experimentos, que el método simplex era computacionalmente superior a sus competidores contemporáneos. Este artículo contiene los primeros experimentos computacionales con el método simplex y sirve como modelo para realizar experimentos computacionales en programación matemática.
Durante estos primeros años en NBS Hoffman desarrolló el primer ejemplo de ciclismo en el método simplex, un ejemplo que aparece en numerosos libros de texto sobre el tema. Un breve documento técnico de la NBS, aparentemente de poca circulación, mostró que un punto que "casi" satisface un conjunto de desigualdades lineales está "cerca: a algún otro punto que sí lo hace, bajo cualquier definición razonable de" casi "y" cerca ". Vale la pena considerar las implicaciones para los algoritmos de programación lineal que consideran restricciones “perezosas” o “suaves”, o para las cuales los datos de restricción (coeficientes de matriz y lado derecho) están sujetos a ruido.
Hoffman fue un organizador clave del influyente Segundo Simposio sobre Programación Lineal , celebrado en la Oficina en enero de 1955. El artículo de NBS sobre el método simplex, ("Cómo resolver un problema de programación lineal " , Proc. Segundo Simposio de Programación Lineal, 1955) fue ampliamente distribuido a otros grupos que trabajan en sus propios códigos para el algoritmo simplex. En 2020, este documento es un vistazo fascinante a los desafíos de resolver programas lineales en computadoras pequeñas (según los estándares actuales). El trabajo de Hoffman en NBS incluyó intentos fallidos de utilizar la programación lineal para resolver un problema de subasta combinatoria de adquisiciones. Las subastas combinatorias siguen siendo un desafío hasta el día de hoy, debido a la abrumadora carga computacional asociada con la computación de soluciones óptimas [IL5] . El esfuerzo de NBS utilizó un enfoque que se asemeja a bifurcar y enlazar, que ahora es el método estándar para resolver problemas de programación de enteros.
Con el matemático alemán Helmut Wielandt, Hoffman utilizó la programación lineal para estimar qué tan distantes estaban los valores propios de una matriz normal de los valores propios de otra matriz normal, en términos de qué tan distantes estaban las dos matrices entre sí. El resultado se basa en la observación de que toda matriz doblemente estocástica es el casco convexo de las matrices de permutación. Para la comunidad de investigación de operaciones, este resultado implica que para la subclase de problemas de programación lineal que se denominan problemas de transporte, si los datos (lado derecho, o valores de oferta y demanda) constan de números enteros, entonces hay una solución óptima tomando solo números enteros valores. El resultado general se conoce como el teorema de Hoffman-Weilandt y hay matemáticos que conocen a Hoffman solo a través de este resultado.
En NBS, Hoffman exploró la conexión entre la dualidad de programación lineal y otros problemas combinatorios. Esto condujo a una demostración simple pero elegante del Teorema de König-Egerváry que establece que para una matriz 0-1, el número máximo de 1 que aparecen en diferentes filas y columnas es igual al número mínimo de filas y columnas que en combinación incluyen todos los 1 de la matriz. Este trabajo temprano en NBS, y el interés continuo de Hoffman por usar igualdades lineales para probar teoremas combinatorios llevaron a colaboraciones con Harold Kuhn, David Gale y Al Tucker y al nacimiento de un subcampo que más tarde se conoció como combinatoria poliédrica. Hoffman fue influyente al llevar posteriormente a Jack Edmonds a NBS (1959-1969), donde floreció el tema.
Mientras estaban en NBS, Joe Kruskal y Hoffman demostraron que la unimodularidad total (el concepto, no el nombre) proporciona una explicación de por qué algunos programas lineales con datos enteros tienen soluciones enteras y otros no. También identificaron algunas condiciones suficientes para que una matriz tenga la propiedad requerida.
Hoffman también escribió sobre las condiciones de Lipschitz para sistemas de desigualdades lineales, los límites de los valores propios de las matrices normales y las propiedades de los patrones suaves de producción. En 1956, Hoffman dejó la Oficina y se mudó a Inglaterra con Esther y dos hijas pequeñas, Eleanor (entonces 2) y Elizabeth (entonces menos de 6 meses) para el glamoroso papel de Oficial de Enlace Científico (matemáticas) en la sucursal de Londres de la Oficina. de Investigación Naval, con la misión de restablecer conexiones entre matemáticos estadounidenses y europeos. Este fue un año de escuchar y aprender, establecer y renovar amistades y, por supuesto, hacer matemáticas. Hizo matemáticas en toda Europa, y descubrió en un tren a Frankfurt un hermoso teorema (pero una demostración defectuosa, corregida más tarde por Jeff Kahn) que conectaba un tema de álgebra con sus primeros trabajos sobre la geometría de los círculos. Otro artículo elaborado durante este período explora más a fondo las consecuencias de la unimodularidad total e introduce el concepto de circulación en un grafo dirigido como una generalización del concepto de flujo st, en el que dos de los nodos del grafo juegan un papel especial.
A medida que el año en el extranjero llegaba a su fin, Hoffman investigó dos puestos industriales en Nueva York, uno en un pequeño grupo de investigación matemática en el naciente IBM Research Lab en el norte del condado de Westchester y el otro enseñando y brindando apoyo de investigación de operaciones generales para los empleados de GE en Manhattan. Sede de la empresa. Hoffman eligió el puesto en la organización más grande y establecida debido a la ubicación, el salario y la oportunidad de ver si él y el campo de la investigación de operaciones podrían tener éxito en los negocios. Hoffman encontró el trabajo fascinante y, en muchos aspectos, satisfactorio. La gerencia le permitió hacer matemáticas, siempre que no interfiriera con sus deberes asignados. Hoffman continuó su investigación, la mayor parte de la cual era ortogonal a la misión del grupo Management Consulting, en una elegante oficina en el corazón de Manhattan.
En el verano de 1960, Hoffman participó en un taller de verano sobre Combinatoria organizado por el departamento de matemáticas de IBM Research. Estaba deslumbrado por la atmósfera y "la gente de todo el mundo haciendo matemáticas". En 1961 aceptó la invitación de Herman Goldstine, Herb Greenberg y Ralph Gomory para unirse a IBM Research, pensando que sería un gran lugar para trabajar, pero que probablemente no duraría y que en unos años conseguiría un "trabajo real" en la academia. Aunque Hoffman se desempeñó como profesor visitante o adjunto en el Technion Israel Institute of Technology (que le otorgó un doctorado honorario), Yale, Stanford (donde pasó inviernos fríos durante casi una década), Rutgers, el Georgia Institute of Technology, Yeshiva University, la New School, y la City University of New York y supervisó el Ph.D. disertaciones en la City University of New York, Stanford, Yale y Princeton, siguió siendo miembro del Departamento de Matemáticas de IBM Research hasta su jubilación como IBM Fellow en 2002.
Carrera de IBM
--- Al unirse a IBM, Hoffman era uno de los miembros más antiguos del departamento, que estaba compuesto principalmente por nuevos doctores. A pesar de tener apenas 11 años después de su doctorado, Hoffman rápidamente asumió el papel de mentor de estos jóvenes investigadores, discutiendo su trabajo e interés y brindando orientación. Se desempeñó brevemente como director del departamento y fue nombrado IBM Fellow en 1977. A lo largo de su carrera, publicó más de 200 artículos académicos, más de un tercio de ellos con coautores. Su rango matemático abarcó numerosas áreas tanto en álgebra como en investigación de operaciones. Fue coautor de artículos con muchos de sus colegas de IBM, colaborando eficazmente con todos, desde sus compañeros IBM Fellows) hasta pasantes de verano y postdoctorados. Todos los que lo conocieron apreciaron el humor, el entusiasmo por las matemáticas, la música y los juegos de palabras, la amabilidad y la generosidad de Hoffman.
Resumen de contribuciones matemáticas (de sus notas en Artículos seleccionados de Alan Hoffman) [5]
El trabajo de Hoffman en Geometría, comenzando con su disertación "Sobre los fundamentos de la geometría de inversión", incluyó pruebas de propiedades de planos afines y el estudio de puntos de correlación de planos proyectivos finitos, condiciones en patrones de unión e intersección de conos (derivado en gran parte por su generalización de sus resultados anteriores sobre el rango de las matrices reales). Produjo una prueba alternativa, basada en axiomas para ciertos sistemas abstractos de conjuntos convexos, de un resultado (por Scarf y otros) sobre el número de desigualdades requeridas para especificar una solución a un problema de programación de números enteros. Un teorema sobre este sistema abstracto parece estar estrechamente relacionado con los antimatroides (también conocidos como geometrías convexas), aunque la conexión no se ha explorado completamente.
El trabajo de Hoffman en combinatoria amplió nuestra comprensión de varias clases de gráficos. Una conferencia de 1956 de G Hajós sobre gráficos de intervalo condujo a la caracterización de Hoffman de los gráficos de comparabilidad y, más tarde, a través de la colaboración con Paul Gilmore, el teorema de GH (también atribuido a A. Ghouia-Houri). Motivado por el algoritmo de emparejamiento de Edmond, Hoffman colaboró con Ray Fulkerson y M. McAndrew Hoffman para caracterizar conjuntos de números enteros que podrían corresponder a los grados y límites en los recuentos de aristas de cada par de vértices de dicho gráfico. Además, consideraron qué gráficos de la clase de todos los gráficos que tienen un conjunto prescrito de grados y límites de recuento de bordes podrían transformarse mediante un conjunto específico de intercambios en cualquier otro conjunto de la clase. Las pruebas se relacionan íntimamente con un concepto importante de base de Hilbert. El artículo sobre cuadrados latinos auto-ortogonales, con los coautores de IBM Don Coppersmith y R. Brayton, se inspiró en una solicitud para programar un cónyuge que evite un torneo de dobles mixtos para un club de raqueta local. Tiene la distinción de ser el único artículo que Hoffman discutiría fuera de la comunidad matemática.
Los conjuntos parcialmente ordenados eran un tema de estudio frecuente para Hoffman. El artículo de 1977 con DE Schwartz usa la dualidad de programación lineal para generalizar la generalización de Green y Kleitman de 1976 del teorema de Dilworth sobre la descomposición de conjuntos parcialmente ordenados, en otro ejemplo más del papel unificador que juega la dualidad en muchos resultados combinatorios.
A lo largo de su carrera, Hoffman buscó pruebas alternativas simples y elegantes a los teoremas establecidos. Estas demostraciones alternativas a menudo dieron lugar a generalizaciones y extensiones. A fines de la década de 1990, colaboró con Cao, Chvátal y Vince para desarrollar una prueba alternativa, utilizando métodos elementales en lugar de álgebra lineal o el teorema de Ryser sobre matrices cuadradas 0-1.
El trabajo de Hoffman sobre desigualdades matriciales y valores propios son básicos en cualquier curso sobre teoría matricial. De particular encanto, y de acuerdo con su afición por unificar enfoques, es su artículo de 1975 sobre Funciones G lineales. Si bien la prueba de la variación de Gerschgorin especificada es más larga y más compleja que otras, cubre todas las variaciones de Ostrowski y muchas variaciones adicionales como casos especiales.
Hoffman fue un anciano alentador, pero no un participante activo en el desarrollo de IBM de una serie de productos de programación lineal y entera. Sin embargo, continuó investigando los aspectos combinatorios y algebraicos de la programación lineal y las desigualdades lineales, incluida una deliciosa abstracción de la dualidad de la programación lineal (1963). También continuó usando propiedades de desigualdades lineales para probar (o volver a probar, de manera más elegante) resultados en convexidad.
Una colaboración con Shmuel Winograd, también miembro de IBM en el departamento de Matemáticas, produjo un algoritmo eficiente para encontrar todas las distancias más cortas en una red dirigida, utilizando pseudomultiplicación de matrices. Una serie de artículos sobre celosía poliédrica (algunos con Don Schwarts) introdujeron el concepto de celosía poliédrica, lo que dio lugar a otro caso más de dualidad combinatoria.
Luego de una colaboración con Ray Fulkerson y Rosa Oppenheim en matrices balanceadas, Hoffman generalizó el resultado Ford-Fulkerson Max Flow - Min Cut a otros casos (flujo en nodos, arcos no dirigidos, etc.) proporcionando una prueba de que todas las instancias previamente conocidas eran casos especiales. Este artículo también introdujo el concepto de (pero nuevamente, no el nombre) de integralidad dual total, una idea detrás de la mayoría de los usos de la programación lineal para probar teoremas combinatorios extremos.
A lo largo de su carrera, Hoffman estudió la clase de problemas de programación de números enteros que se podían resolver maximizando sucesivamente las variables en algún orden. Un ejemplo de ello es el problema del transporte completo, en el caso en el que el coeficiente de costo exhibe una propiedad particular descubierta más de un siglo antes por el matemático francés Gaspard Monge. Este enfoque, llamado simplemente "simple" en el artículo de Hoffman, fue posteriormente considerado "codicioso" por Edmonds y Fulkerson. La propiedad de Monge da lugar a un antimatroide y, mediante el uso de ese antimatroide, el resultado de Hoffman se extiende fácilmente al caso de problemas de transporte incompletos. Hoffman reutilizó el término "codicioso" para describir una subclase de matrices 0-1 para las cuales el programa lineal dual puede resolverse mediante el algoritmo codicioso para todos los lados derechos y todas las funciones objetivas con coeficientes decrecientes (en el índice de la variable) . Junto con Kolen y Sakarovitch, mostró que para estas matrices, el programa entero correspondiente tiene una solución óptima entera para datos enteros. El elegante y breve artículo de 1992 proporciona una caracterización en matrices 0-1 para las que los problemas de empaquetamiento y recubrimiento pueden resolverse mediante un enfoque codicioso. Proporciona una unificación de resultados para la ruta más corta y los problemas mínimos del árbol de expansión. Su artículo final sobre este tema "Sobre algoritmos codiciosos, conjuntos parcialmente ordenados y funciones submodulares", en coautoría con Dietrich, apareció en 2003.
Hoffman visitó y revisó el tema de Graph Spectra, abordando la singularidad del esquema de asociación triangular en un artículo de 1959, Moore Graphs con diámetros 2 y 3 en 1960 (con R Singleton), el polinomio de un gráfico en 1963, el gráfico lineal de un diseño simétrico de bloques incompletos balanceados (con Ray-Chaudhuri) en 1965, conexiones entre valores propios y coloraciones de un gráfico (en 1970), conexiones entre valores propios y particiones de los bordes en un gráfico en 1972, y muchos más, incluida la exploración de propiedades de la matriz de incidencia de borde versus trayectoria de gráficos en serie paralelos (relacionados con empaquetaduras codiciosas) con Schieber en 2002.
Reconocimiento a su trabajo
Hoffman fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias en 1982, de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias en 1987 y de la clase inaugural de INFORMS Fellows en 2002. Durante su larga carrera, Hoffman formó parte del consejo editorial de once revistas y como el editor fundador de Linear Algebra and its Applications. En 1992, junto con Phillip Wolfe (también de IBM) fue galardonado con el Premio Teórico John von Neumann de ORSA y TIMS [6] , predecesores de INFORMS [7] . Al presentar el premio, George Nemhauser reconoció a Hoffman y Wolfe como los líderes intelectuales del grupo de programación matemática de IBM. Citó a Hoffman por su trabajo en combinatoria y programación lineal y por sus primeros trabajos sobre la eficiencia computacional del método simplex durante su tiempo en NBS. En agosto de 2000, Hoffman fue honrado por la Sociedad de Programación Matemática como uno de los 10 beneficiarios (3 de IBM) del Premio Fundadores.
En una biografía publicada en un número de Linear Algebra and its Applications dedicada a Hoffman con motivo de su sesenta y cinco cumpleaños, Uriel Rothblum escribió que "Más allá de sus contribuciones académicas y profesionales, Hoffman tiene una capacidad incomparable para disfrutar todo lo que hace. Le gusta cantar, jugar al ping pong, los juegos de palabras, las historias ingeniosas y, posiblemente tanto como cualquier otra cosa, hacer matemáticas ".
Esther Hoffman murió de una enfermedad de la sangre en el verano de 1988. Alan se casó con Elinor Hershaft, diseñadora de interiores, en 1990. Se divorciaron en 2014. Elinor murió en octubre de 2020. Alan pasó muy felizmente sus últimos años en la comunidad de jubilados de The Osborn en Rye. , Nueva York. Le sobreviven sus hijas, Eleanor y Elizabeth. [8]
Premios
Alan Hoffman recibió varios premios. [6]
- Miembro de IBM, 1978–
- Miembro de la Academia Nacional de Ciencias , 1982–
- Miembro de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias , 1987–
- D. Sc. (Hon.) Technion - Instituto de Tecnología de Israel , 1986
- 1992 Premio de teoría John von Neumann con Philip Wolfe
- Clase 2002 de becarios del Instituto de Investigación Operativa y Ciencias de la Gestión [7]
Seleccionar publicaciones
- Hoffman AJ & Jacobs W. (1954) Patrones suaves de producción. en Management Science, 1 (1): 86–91.
- Hoffman AJ y Wolfe P. (1985) Historia. Lawler EL, Lenstra JK, Rinnooy Kan AHG y Shmoys DB, eds. en El problema del viajante. John Wiley & Sons: Nueva York.
Referencias
- ^ Página personal, IBM. "Alan Hoffman" . IBM Research. Archivado desde el original el 14 de marzo de 2012 . Consultado el 14 de noviembre de 2011 .
- ^ AE Brouwer & JH van Lint, Gráficos fuertemente regulares y geometrías parciales, en: Enumeración y diseño - Proc. Silver Jubilee Conf. sobre Combinatoria, Waterloo, 1982, DM Jackson & SA Vanstone (eds.) Academic Press, Toronto (1984) 108.
- ^ Biografía de Alan J. Hoffman
- ↑ Cameron Counts: Alan Hoffman
- ^ Hoffman, AJ (Alan Jerome), 1924- (2003). Artículos seleccionados de Alan Hoffman con comentarios . Micchelli, Charles A. River Edge, Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 978-981-279-693-6. OCLC 261340522 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ "Gente: Alan Hoffman" . IBM Research . Consultado el 5 de enero de 2015 .
- ^ Fellows: Alphabetical List , Institute for Operations Research and the Management Sciences , archivado desde el original el 10 de mayo de 2019 , consultado el 9 de octubre de 2019
- Alan Jerome Hoffman en el Proyecto de genealogía matemática