La teoría de las isometrías en el marco de los espacios de Banach tiene su comienzo en un artículo de Stanisław Mazur y Stanisław M. Ulam en 1932. [1] Demostraron que cada isometría de un espacio lineal real normalizado en un espacio lineal real normalizado es un espacio lineal. mapeo hasta la traducción. En 1970, Aleksandr Danilovich Aleksandrov preguntó si la existencia de una única distancia conservadora para algún mapeo implica que se trata de una isometría . Themistocles M. Rassias planteó el siguiente problema:
Problema de Aleksandrov-Rassias. Si X e Y son espacios lineales normativos y si T : X → Y es un mapeo continuo y / o sobreyectivo que satisface la llamada propiedad de preservación de la distancia uno (DOPP), ¿entonces T es necesariamente una isometría?
Ha habido varios intentos en la literatura matemática por parte de varios investigadores para la solución de este problema.
Referencias
- ^ S. Mazur y S. Ulam, Sur les transformes isométriques d'espaces vectoriels normés , CR Acad. Sci. Paris 194 (1932), 946–948.
- PM Pardalos, PG Georgiev y HM Srivastava (eds.), Análisis no lineal. Estabilidad, aproximación y desigualdades. En honor a Themistocles M. Rassias con motivo de su 60 cumpleaños , Springer, Nueva York, 2012.
- AD Aleksandrov, Mapeo de familias de conjuntos , Matemáticas soviéticas. Dokl. 11 (1970), 116-120.
- Sobre el problema de Aleksandrov-Rassias y el problema de estabilidad de Hyers-Ulam-Rassias
- Sobre el problema de Aleksandrov-Rassias para mapeos isométricos
- Sobre el problema de Aleksandrov-Rassias y la invariancia geométrica en los espacios de Hilbert
- S.-M. Jung y K.-S. Lee, Una desigualdad para distancias entre 2n puntos y el problema de Aleksandrov-Rassias , J. Math. Anal. Apl. 324 (2) (2006), 1363-1369.
- S. Xiang, Mapeos de distancias conservadoras y el teorema de Mazur-Ulam , J. Math. Anal. Apl. 254 (1) (2001), 262–274.
- S. Xiang, Sobre el problema de Aleksandrov y el problema de Rassias para mapeos isométricos , Análisis funcional no lineal y Appls. 6 (2001), 69-77.
- S. Xiang, Sobre isometrías aproximadas , en: Matemáticas en el siglo XXI (eds. KK Dewan y M. Mustafa), Deep Publs. Ltd., Nueva Delhi, 2004, págs. 198–210.