En topología , una subbase (o subbase ) para un espacio topológico X con topología T es una subcolección B de T que genera T , en el sentido de que T es la topología más pequeño que contiene B . Algunos autores utilizan una definición ligeramente diferente, y hay otras formulaciones equivalentes útiles de la definición; estos se analizan a continuación.
Deje X un espacio topológico con topología T . Una subbase de T generalmente se define como una subcolección B de T que satisface una de las dos siguientes condiciones equivalentes:
(Si usamos la convención de intersección nular , entonces no es necesario incluir X en la segunda definición).
Para cualquier subcolección S del conjunto de potencias P ( X ) , existe una topología única que tiene S como subbase. En particular, la intersección de todas las topologías en X que contienen S satisface esta condición. Sin embargo, en general, no existe una subbase única para una topología determinada.
Por lo tanto, podemos comenzar con una topología fija y encontrar subbases para esa topología, y también podemos comenzar con una subcolección arbitraria del conjunto de potencias P ( X ) y formar la topología generada por esa subcolección. Podemos usar libremente cualquier definición equivalente anterior; de hecho, en muchos casos, una de las dos condiciones es más útil que la otra.
A veces, una definición ligeramente diferente de la sub-base se le da lo que requiere que la sub-base ℬ cubierta X . [1] En este caso, X es la unión de todos los conjuntos contenidos en ℬ . Esto significa que no puede haber confusión con respecto al uso de intersecciones nulares en la definición.