aceleracion anderson

---

En matemáticas, la aceleración de Anderson , también llamada mezcla de Anderson , es un método para la aceleración de la tasa de convergencia de iteraciones de punto fijo . Introducida por Donald G. Anderson, ^[1] esta técnica se puede utilizar para encontrar la solución a las ecuaciones de punto fijo que a menudo surgen en el campo de la ciencia computacional .${\ estilo de visualización f (x) = x}$

Dada una función , considere el problema de encontrar un punto fijo de , que es una solución a la ecuación . Un enfoque clásico del problema es emplear un esquema de iteración de punto fijo ; ^[2] es decir, dada una estimación inicial de la solución, calcular la secuencia hasta que se cumpla algún criterio de convergencia. Sin embargo, la convergencia de tal esquema no está garantizada en general; además, la tasa de convergencia suele ser lineal, lo que puede volverse demasiado lento si la evaluación de la función es computacionalmente costosa. ^{[2] La} aceleración de Anderson es un método para acelerar la convergencia de la secuencia de punto fijo. ^[2]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización f (x) = x}$${\ estilo de visualización x_ {0}}$${\displaystyle x_{i+1}=f(x_{i})}$${\ estilo de visualización f}$

Defina el residual y denote (donde está la secuencia de iteraciones del párrafo anterior). Dada una suposición inicial y un parámetro entero , el método se puede formular de la siguiente manera: ^{[3] [nota 1]}${\displaystyle g(x)=f(x)-x}$${\displaystyle g_{k}=g(x_{k})}$${\ estilo de visualización x_ {k}}$${\ estilo de visualización x_ {0}}$${\ estilo de visualización m \ geq 1}$

Se pueden utilizar criterios de parada convencionales para finalizar las iteraciones del método. Por ejemplo, las iteraciones se pueden detener cuando cae por debajo de una tolerancia prescrita, o cuando el residuo cae por debajo de una tolerancia prescrita. ^[2]${\ estilo de visualización \|x_{k+1}-x_{k}\|}$${\ estilo de visualización g (x_ {k})}$

Con respecto a la iteración de punto fijo estándar, se ha encontrado que el método converge más rápido y es más robusto, y en algunos casos evita la divergencia de la secuencia de punto fijo. ^{[3] [4]}

---