Áreas de matemáticas

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Matemáticas
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Las matemáticas abarcan una creciente variedad y profundidad de materias a lo largo de la historia , y su comprensión requiere un sistema para categorizar y organizar estas diversas materias en áreas más generales de las matemáticas . Han surgido varios esquemas de clasificación diferentes y, aunque comparten algunas similitudes, existen diferencias debido en parte a los diferentes propósitos a los que sirven.

Una división tradicional de las matemáticas es la matemática pura ; matemáticas estudiadas por su interés intrínseco y matemáticas aplicadas ; las matemáticas que se pueden aplicar directamente a problemas del mundo real. ^{[nota 1]} Esta división no siempre es clara y muchas materias se han desarrollado como matemáticas puras para encontrar aplicaciones inesperadas más adelante. Más recientemente han surgido divisiones amplias, como las matemáticas discretas , las matemáticas computacionales , etc.

Un sistema ideal de clasificación permite agregar nuevas áreas a la organización del conocimiento previo y encajar descubrimientos sorprendentes e interacciones inesperadas en el esquema. Por ejemplo, el programa Langlands ha encontrado conexiones inesperadas entre áreas que antes se pensaba desconectadas, al menos los grupos de Galois , las superficies de Riemann y la teoría de números .

Sistemas de clasificación

• Wikipedia utiliza un sistema de Categoría: Matemáticas en sus artículos y también tiene una lista de listas de matemáticas .
• La Clasificación de Materias de Matemáticas (MSC) es producida por el personal de las bases de datos de revisión Mathematical Reviews y Zentralblatt MATH . Muchas revistas de matemáticas piden a los autores que etiqueten sus artículos con códigos de materias de MSC. El MSC divide las matemáticas en más de 60 áreas, con más subdivisiones dentro de cada área.
• En la Clasificación de la Biblioteca del Congreso , las matemáticas se asignan a las muchas subclases QA dentro de la clase Q (Ciencias). El LCC define divisiones amplias, y a los sujetos individuales se les asignan valores numéricos específicos.
• La clasificación decimal de Dewey asigna las matemáticas a la división 510, con subdivisiones para álgebra y teoría de números , aritmética , topología , análisis , geometría , análisis numérico y probabilidades y matemáticas aplicadas .
• La lista Categorías dentro de Matemáticas es utilizada por arXiv para categorizar preimpresiones . Se diferencia de MSC; por ejemplo, incluye cosas como álgebra cuántica .
• La IMU utiliza su estructura de programa para organizar las conferencias en su ICM cada cuatro años. Una sección de alto nivel que MSC no tiene es la teoría de la mentira .
• El Sistema de Clasificación de Computación ACM incluye un par de categorías matemáticas F. Teoría de Computación y G. Matemáticas de Computación.
• MathOverflow tiene un sistema de etiquetas .
• Los editores de libros de matemáticas como Springer ( subdisciplinas ), Cambridge ( Explorar matemáticas y estadísticas ) y AMS ( área temática ) utilizan sus propias listas de materias en sus sitios web para permitir a los clientes buscar libros o filtrar búsquedas por subdisciplina, incluidos temas como biología matemática. y finanzas matemáticas como títulos de alto nivel.
• Las escuelas y otros organismos educativos tienen programas de estudios .
• SIAM divide las áreas de matemáticas aplicadas en grupos de actividades .

Principales divisiones de las matemáticas

Matemáticas puras

Fundamentos (incluida la teoría de conjuntos y la lógica matemática )

Los matemáticos siempre han trabajado con lógica y símbolos, pero durante siglos las leyes subyacentes de la lógica se dieron por sentadas y nunca se expresaron simbólicamente. La lógica matemática , también conocida como lógica simbólica , se desarrolló cuando la gente finalmente se dio cuenta de que las herramientas de las matemáticas se pueden utilizar para estudiar la estructura de la lógica misma. Las áreas de investigación en este campo se han expandido rápidamente y generalmente se subdividen en varios subcampos distintos.

• Teoría de la prueba y matemáticas constructivas  : La teoría de la prueba surgió del ambicioso programa de David Hilbert para formalizar todas las pruebas en matemáticas. El resultado más famoso en el campo está encapsulado en los teoremas de incompletitud de Gödel . Un concepto estrechamente relacionado y ahora bastante popular es la idea de las máquinas de Turing . El constructivismo es el resultado de la visión poco ortodoxa de Brouwer de la naturaleza de la lógica misma; Hablando de manera constructiva, los matemáticos no pueden afirmar "O un círculo es redondo, o no lo es" hasta que hayan exhibido realmente un círculo y medido su redondez.

• Teoría de modelos  : la teoría de modelos estudia las estructuras matemáticas en un marco general. Su principal herramienta es la lógica de primer orden .

• Teoría de conjuntos  : se puede pensar en un conjunto como una colección de cosas distintas unidas por alguna característica común. La teoría de conjuntos se subdivide en tres áreas principales. La teoría de conjuntos ingenua es la teoría de conjuntos original desarrollada por matemáticos a finales del siglo XIX. La teoría de conjuntos axiomáticos es una teoría axiomática rigurosa desarrollada en respuesta al descubrimiento de serias fallas (como la paradoja de Russell ) en la teoría de conjuntos ingenua. Trata a los conjuntos como "todo lo que satisface los axiomas", y la noción de colecciones de cosas sirve sólo como motivación para los axiomas. La teoría de conjuntos internos es una extensión axiomática de la teoría de conjuntos que apoya una lógica consistenteidentificación de elementos ilimitados (enormemente grandes) e infinitesimales (inimaginablemente pequeños) dentro de los números reales . Consulte también Lista de temas de teoría de conjuntos .

Historia y biografía

La historia de las matemáticas está indisolublemente entrelazada con la asignatura en sí. Esto es perfectamente natural: las matemáticas tienen una estructura orgánica interna, derivando nuevos teoremas de los anteriores. A medida que cada nueva generación de matemáticos se basa en los logros de sus antepasados, el tema en sí se expande y crece en nuevas capas, como una cebolla.

Matemáticas recreativas

Desde los cuadrados mágicos hasta el conjunto de Mandelbrot , los números han sido una fuente de diversión y deleite para millones de personas a lo largo de los siglos. Muchas ramas importantes de las matemáticas "serias" tienen sus raíces en lo que alguna vez fue un mero rompecabezas y / o juego.

Teoría de números

La teoría de números es el estudio de los números y las propiedades de las operaciones entre ellos. La teoría de números se ocupa tradicionalmente de las propiedades de los números enteros , pero más recientemente, se ha ocupado de clases más amplias de problemas que han surgido naturalmente del estudio de los números enteros.

• Aritmética  : una parte elemental de la teoría de números que se centra principalmente en el estudio de números naturales , enteros , fracciones y decimales , así como las propiedades de las operaciones tradicionales sobre ellos: suma , resta , multiplicación y división . Hasta el siglo XIX, la aritmética y la teoría de números eran sinónimos, pero la evolución y el crecimiento del campo ha dado como resultado que la aritmética se refiera solo a la rama elemental de la teoría de números.

• Teoría elemental de números: el estudio de números enteros a un nivel superior a la aritmética , donde el término 'elemental' aquí se refiere al hecho de que no se utilizan técnicas de otros campos matemáticos.

• Teoría analítica de números  : el cálculo y el análisis complejo se utilizan como herramientas para estudiar los números enteros.

• Teoría algebraica de números  : Las técnicas del álgebra abstracta se utilizan para estudiar los números enteros, así como los números algebraicos , las raíces de polinomios con coeficientes enteros .

• Otros subcampos de la teoría de números: teoría de números geométricos ; teoría de números combinatorios ; teoría de números trascendental ; y teoría de números computacionales . Consulte también la lista de temas de teoría de números .

Álgebra

El estudio de la estructura comienza con los números , primero los conocidos números naturales y enteros y sus operaciones aritméticas , que se registran en álgebra elemental . Las propiedades más profundas de estos números se estudian en teoría de números . La investigación de métodos para resolver ecuaciones conduce al campo del álgebra abstracta , que, entre otras cosas, estudia anillos y campos , estructuras que generalizan las propiedades que poseen los números cotidianos. Las preguntas de larga data sobre las construcciones de brújula y regla fueron finalmente resueltas por la teoría de Galois. El concepto físicamente importante de vectores , generalizado a espacios vectoriales , se estudia en álgebra lineal . Los temas comunes a todo tipo de estructuras algebraicas se estudian en álgebra universal .

• Teoría del orden  : para dos números reales distintos, uno debe ser mayor que el otro. La teoría del orden extiende esta idea a los conjuntos en general. Incluye nociones como celosías y estructuras algebraicas ordenadas . Consulte también el glosario de teoría del orden y la lista de temas de orden .

• Sistemas algebraicos generales  : Dado un conjunto , se pueden definir diferentes formas de combinar o relacionar los miembros de ese conjunto. Si estos obedecen a ciertas reglas, entonces se forma una estructura algebraica particular. El álgebra universal es el estudio más formal de estas estructuras y sistemas.

• Teoría de campos y polinomios: la teoría de campos estudia las propiedades de los campos . Un campo es una entidad matemática para la cual la suma, resta, multiplicación y división están bien definidas . Un polinomio es una expresión en la que las constantes y las variables se combinan utilizando solo sumas, restas y multiplicaciones.

• Anillos conmutativos y álgebras  : En la teoría de anillos , una rama del álgebra abstracta, un anillo conmutativo es un anillo en el que la operación de multiplicación obedece a la ley conmutativa . Esto significa que si un y b son los elementos del anillo, entonces un × b  =  b × una . El álgebra conmutativa es el campo de estudio de los anillos conmutativos y sus ideales , módulos y álgebras. Es fundamental tanto para la geometría algebraica como para la teoría algebraica de números. Los ejemplos más destacados de anillos conmutativos son los anillos de polinomios..

Combinatoria

La combinatoria es el estudio de colecciones finitas o discretas de objetos que satisfacen criterios específicos. En particular, se ocupa de "contar" los objetos de esas colecciones ( combinatoria enumerativa ) y de decidir si existen ciertos objetos "óptimos" ( combinatoria extrema ). Incluye la teoría de grafos , que se utiliza para describir objetos interconectados (un gráfico en este sentido es una red o una colección de puntos conectados). Consulte también la lista de temas de combinatoria , la lista de temas de teoría de grafos y el glosario de teoría de grafos . Un sabor combinatorio está presente en muchas partes de la resolución de problemas .

Geometría

La geometría se ocupa de las relaciones espaciales, utilizando cualidades o axiomas fundamentales . Estos axiomas se pueden utilizar junto con definiciones matemáticas de puntos , líneas rectas , curvas , superficies y sólidos para sacar conclusiones lógicas. Consulte también Lista de temas de geometría .

• Geometría convexa : incluye el estudio de objetos como politopos y poliedros . Consulte también la Lista de temas de convexidad .

• Geometría discreta y geometría combinatoria : Estudio de objetos geométricos y propiedades discretas o combinatorias , ya sea por su naturaleza o por su representación. Incluye el estudio de formas como los sólidos platónicos y la noción de teselación .

• Geometría diferencial : el estudio de la geometría mediante el cálculo. Está muy relacionado con la topología diferencial . Cubre áreas como la geometría riemanniana , la curvatura y la geometría diferencial de curvas . Consulte también el glosario de topología y geometría diferencial .

• Geometría algebraica : dado un polinomio de dos variables reales , los puntos en un plano donde esa función es cero formarán una curva. Una curva algebraica extiende esta noción a polinomios sobre un campo en un número dado de variables. La geometría algebraica puede verse como el estudio de estas curvas. Consulte también la lista de temas de geometría algebraica y la lista de superficies algebraicas .
  • Geometría algebraica real : el estudio de conjuntos semialgebraicos , es decir, soluciones de números reales a desigualdades algebraicas con coeficientes de números reales y mapeos entre ellos.

• Geometría aritmética : Estudio de esquemas de tipo finito sobre el espectro del anillo de números enteros . Alternativamente definido como la aplicación de las técnicas de geometría algebraica a problemas de teoría de números .

• Geometría diophantine : El estudio de los puntos de variedades algebraicas con coordenadas en campos que no son algebraicamente cerrado y se producen en la teoría algebraica de números , tales como el campo de los números racionales , los campos de número , los cuerpos finitos , campos de funciones , y p campos -adic , pero sin incluir los números reales .

Topología

Se ocupa de las propiedades de una figura que no cambian cuando la figura se deforma continuamente. Las áreas principales son la topología de conjuntos de puntos (o topología general ), la topología algebraica y la topología de variedades , que se definen a continuación.

• Topología general : también denominada topología de conjuntos de puntos . Propiedades de los espacios topológicos . Incluye nociones tales como abiertas y cerradas conjuntos , espacios compactos , funciones continuas , convergencia , axiomas de separación , espacios métricos , teoría de la dimensión . Consulte también el glosario de topología general y la lista de temas de topología general .

• Topología algebraica : propiedades de los objetos algebraicos asociados con un espacio topológico y cómo estos objetos algebraicos capturan las propiedades de dichos espacios. (Algunos de estos objetos algebraicos son ejemplos de functores ). Contiene áreas como teoría de homología , teoría de cohomología , teoría de homotopía y álgebra homológica . La homotopía se ocupa de los grupos de homotopía (incluido el grupo fundamental ), así como de los complejos simpliciales y los complejos CW (también llamados complejos celulares ). Consulte también la lista de temas de topología algebraica .

• Topología diferencial : El campo tratar con funciones diferenciables en variedades diferenciables , que puede ser pensado como un n : dimensional generalización de una superficie en el 3-dimensional usual espacio euclidiano .

Análisis matemático

Dentro del mundo de las matemáticas, el análisis es la rama que se centra en el cambio: tasas de cambio , cambio acumulado y múltiples cosas que cambian en relación (o independientemente) entre sí.

El análisis moderno es una rama vasta y en rápida expansión de las matemáticas que toca casi todas las demás subdivisiones de la disciplina, encontrando aplicaciones directas e indirectas en temas tan diversos como la teoría de números , la criptografía y el álgebra abstracta . También es el lenguaje de la ciencia misma y se utiliza a través de la química , la biología y la física , de la astrofísica a la cristalografía de rayos X .

Matemáticas aplicadas

Probabilidad y estadística

Ver también: Glosario de probabilidad y estadísticas

• Teoría de la probabilidad : la teoría matemática de los fenómenos aleatorios . La teoría de la probabilidad estudia variables y eventos aleatorios , que son abstracciones matemáticas de eventos no deterministas o cantidades medidas. Consulte también Categoría: teoría de la probabilidad y la lista de temas de probabilidad .
  • Procesos estocásticos : una extensión de la teoría de la probabilidad que estudia conjuntos de variables aleatorias, como series de tiempo o procesos espaciales . Consulte también Lista de temas de procesos estocásticos y Categoría: Procesos estocásticos .
• Estadística : La ciencia de hacer un uso efectivo de datos numéricos de experimentos o de poblaciones de individuos. La estadística incluye no solo la recopilación, el análisis y la interpretación de dichos datos, sino también la planificación de la recopilación de datos, en términos del diseño de encuestas y experimentos . Consulte también la lista de temas estadísticos .

Ciencias computacionales

• Análisis numérico : muchos problemas matemáticos, en general, no se pueden resolver con exactitud. El análisis numérico es el estudio de métodos y algoritmos iterativos para resolver aproximadamente problemas hasta un límite de error específico. Incluye diferenciación numérica , integración numérica y métodos numéricos ; cf informática científica . Consulte también Lista de temas de análisis numérico .

• Álgebra informática : esta área también se denomina cálculo simbólico o cálculo algebraico . Se ocupa del cálculo exacto, por ejemplo, con números enteros de tamaño arbitrario, polinomios o elementos de campos finitos. Incluye también el cálculo con objetos matemáticos no numéricos como ideales polinomiales o series.

Física matemática

Más información: Mecánica continua , Elasticidad (física) y Plasticidad (física)

Más información: Principios energéticos en mecánica estructural , Método de flexibilidad , Método de rigidez directa y Método de elementos finitos

Más información: Física del estado sólido , Ciencia de los materiales , Mecánica de materiales , Mecánica de sólidos , Mecánica de fracturas , Deformación (mecánica) y Cuerpos deformables

Más información: dinámica de fluidos , mecánica de fluidos , reología , electrodinámica , física del plasma , dinámica de gases y aerodinámica

• Mecánica clásica : aborda y describe el movimiento de objetos macroscópicos, desde proyectiles hasta partes de maquinaria y objetos astronómicos, como naves espaciales, planetas, estrellas y galaxias.

• Mecánica de estructuras : La mecánica de estructuras es un campo de estudio dentro de la mecánica aplicada que investiga el comportamiento de estructuras bajo cargas mecánicas, como la flexión de una viga, el pandeo de una columna, la torsión de un eje, la deflexión de una capa delgada y la vibración. de un puente.

• Mecánica de sólidos deformables : la mayoría de los objetos del mundo real no son puntiagudos ni perfectamente rígidos. Más importante aún, los objetos cambian de forma cuando se someten a fuerzas. Este tema tiene una superposición muy fuerte con la mecánica del continuo , que se ocupa de la materia continua. Se ocupa de nociones como tensión , deformación y elasticidad .

• Mecánica de fluidos : Los fluidos en este sentido incluyen no solo los líquidos , sino también los gases que fluyen e incluso los sólidos en determinadas situaciones. (Por ejemplo, la arena seca puede comportarse como un fluido). Incluye nociones como viscosidad , flujo turbulento y flujo laminar (su opuesto).

• Mecánica de partículas : en matemáticas, una partícula es un objeto sólido, perfectamente rígido y con forma de punto. La mecánica de partículas se ocupa de los resultados de someter partículas a fuerzas. Incluye la mecánica celeste: el estudio del movimiento de los objetos celestes.

Otras matemáticas aplicadas

• Investigación operativa (OR): también conocida como investigación operativa, OR proporciona soluciones óptimas o casi óptimas a problemas complejos. OR utiliza modelos matemáticos , análisis estadístico y optimización matemática .

• Programación matemática : La programación matemática (u optimización matemática) minimiza (o maximiza) una función de valor real en un dominio que a menudo se especifica mediante restricciones en las variables. La programación matemática estudia estos problemas y desarrolla métodos iterativos y algoritmos para su solución.

Ver también

• Clasificación de asignaturas de matemáticas
• Glosario de áreas de matemáticas
• Esquema de las matemáticas

Notas

1. Por ejemplo, la Encyclopædia Britannica Undécima edición agrupa sus artículos de matemáticas como Puras, Aplicadas y Biografías .

Enlaces externos

• Las Divisiones de Matemáticas [del Archivo Web; Última modificación 25/01/2006]