En álgebra universal , una base es una estructura dentro de algunas álgebras (universales) , que se denominan álgebras libres . Genera todos los elementos de álgebra a partir de sus propios elementos mediante las operaciones de álgebra de manera independiente. También representa los endomorfismos de un álgebra mediante determinadas indexaciones de elementos de álgebra, que pueden corresponder a las matrices habituales cuando el álgebra libre es un espacio vectorial .
Definiciones
Una base (o marco de referencia ) de un álgebra (universal) es una función que toma algunos elementos de álgebra como valores y satisface una de las siguientes dos condiciones equivalentes. Aquí, el conjunto de todosse denomina conjunto de bases , mientras que varios autores lo denominan "base". [1] [2] El conjunto de sus argumentos se llama conjunto de dimensiones . Cualquier función, con todos sus argumentos en el conjunto, que toma elementos de álgebra como valores (incluso fuera del conjunto base) se denotarán por . Luego, será un .
Condición externa
Esta condición definirá las bases por el conjunto de El - funciones elementales arias del álgebra , que son ciertas funciones que toman cada como argumento para obtener algún elemento de álgebra como valor De hecho, constan de todas las proyecciones con en cuales son las funciones tales que para cada , y de todas las funciones que surgen de ellas mediante repetidas "composiciones múltiples" con operaciones del álgebra.
(Cuando una operación de álgebra tiene un solo elemento de álgebra como argumento, el valor de dicha función compuesta es el que la operación toma del valor de una sola función previamente calculada -función como en la composición . Cuando no es así, tales composiciones requieren que muchos (o ninguno para una operación nulary)Las funciones -ary se evalúan antes de la operación de álgebra: una para cada elemento de álgebra posible en ese argumento. En casoy el número de elementos en los argumentos, o "aridad", de las operaciones es finito, esta es la composición múltiple finitaria .)
Entonces, de acuerdo con la condición externa, una basetiene que generar el álgebra (es decir, cuando abarca todo el , obtiene todos los elementos del álgebra) y debe ser independiente (es decir, siempre que dos-las funciones elementales coinciden en , lo harán en todas partes: implica ). [3] Esto es lo mismo que requerir que exista una sola función que toma cada elemento del álgebra como argumento para obtener un -función elemental como valor y satisface para todos en .
Condición interior
Esta otra condición definirá bases por el conjunto E de los endomorfismos del álgebra, que son los homomorfismos del álgebra en sí misma, a través de su representación analítica. por una base. Esta última es una función que toma cada endomorfismo e como argumento para obtener una función m como valor:, donde este m es la "muestra" de los valores de e en b , a saberpara todo i en el conjunto de dimensiones.
Entonces, de acuerdo con la condición interna b es una base, cuandoes una biyección de E sobre el conjunto de todos m , es decir, para cada m hay uno y solo un endomorfismo e tal que. Esto es lo mismo que requerir que exista una función de extensión , es decir, una funciónque toma cada (muestra) m como argumento para extenderlo a un endomorfismo tal que . [4]
El vínculo entre estas dos condiciones viene dado por la identidad , que se aplica a todos my todos los elementos del álgebra a . [5] Se omiten varias otras condiciones que caracterizan las bases de las álgebras universales.
Como mostrará el siguiente ejemplo, las bases actuales son una generalización de las bases de los espacios vectoriales. Entonces, el nombre "marco de referencia" bien puede reemplazar "base". Sin embargo, contrariamente al caso del espacio vectorial, un álgebra universal puede carecer de bases y, cuando las tiene, sus conjuntos de dimensiones pueden tener diferentes cardinalidades positivas finitas. [6]
Ejemplos de
Álgebras espaciales vectoriales
En el álgebra universal correspondiente a un espacio vectorial de dimensión finita, las bases son esencialmente las bases ordenadas de este espacio vectorial. Sin embargo, esto vendrá después de varios detalles.
Cuando el espacio vectorial es de dimensión finita, por ejemplo con , Las funciones en el conjunto L de la condición externa exactamente son los que proporcionan las propiedades de independencia lineal y de expansión con combinaciones linealesy la propiedad actual del generador se convierte en la que abarca. Por el contrario, la independencia lineal es un mero ejemplo de independencia presente, que se vuelve equivalente a ella en tales espacios vectoriales. (Además, varias otras generalizaciones de independencia lineal para álgebras universales no implican independencia presente).
Las funciones m para la condición interna corresponden a las matrices cuadradas de elementos de campo (es decir, matrices cuadradas de espacio vectorial habituales) que sirven para construir los endomorfismos de espacios vectoriales (es decir, mapas lineales en sí mismos). Entonces, la condición interna requiere una propiedad de biyección de endomorfismos también a matrices. De hecho, cada columna de dicha matriz representa un vectorcomo su n -tupla de coordenadas con respecto a la base b . Por ejemplo, cuando los vectores son n -tuplas de números del campo subyacente y b es la base de Kronecker , m es una matriz vista por columnas , es la muestra de dicho mapa lineal en los vectores de referencia y extiende esta muestra a este mapa como se muestra a continuación.
Cuando el espacio vectorial no es de dimensión finita, se necesitan más distinciones. De hecho, aunque las funciones formalmente tienen una infinidad de vectores en cada argumento, las combinaciones lineales que evalúan nunca requieren infinitos apéndices y cada determina un subconjunto finito J deque contiene todo lo necesario i . Entonces, cada valor es igual a un , dónde es la restricción de m a J yes la función elemental J -ary correspondiente a. Cuando el Reemplace la , tanto la independencia lineal como las propiedades de expansión para conjuntos de bases infinitos se derivan de la condición externa presente y viceversa.
Por lo tanto, en lo que respecta a los espacios vectoriales de dimensión positiva, la única diferencia entre las bases actuales de las álgebras universales y las bases ordenadas de los espacios vectoriales es que aquí no hay orden ense requiere. Aún así está permitido, en caso de que sirva para algún propósito.
Cuando el espacio es de dimensión cero, su base ordenada está vacía. Entonces, siendo la función vacía , es una base presente. Sin embargo, dado que este espacio solo contiene el vector nulo y su único endomorfismo es la identidad, cualquier función b de cualquier conjunto(incluso uno no vacío) a este espacio singleton funciona como una base presente. Esto no es tan extraño desde el punto de vista del álgebra universal, donde las álgebras singleton, que se llaman "triviales", disfrutan de muchas otras propiedades aparentemente extrañas.
Monoide de palabra
Dejar ser un "alfabeto", es decir, un conjunto (generalmente finito) de objetos llamados "letras". Sea W el conjunto correspondiente de palabras o "cadenas", que se denotarán como cadenas , es decir, escribiendo sus letras en secuencia o poren el caso de la palabra vacía ( notación de lenguaje formal ). [7] En consecuencia, la yuxtaposicióndenotará la concatenación de dos palabras v y w , es decir, la palabra que comienza con v y va seguida de w .
La concatenación es una operación binaria en W que junto con la palabra vacíadefine un monoide libre , el monoide de las palabras en, que es una de las álgebras universales más simples. Entonces, la condición interna probará inmediatamente que una de sus bases es la función b que hace una palabra de una sola letra de cada letra , .
(Dependiendo de la implementación teórica de conjuntos de secuencias, b puede no ser una función de identidad, es decir puede no ser , más bien un objeto como , es decir, una función singleton, o un par como o . [7] )
De hecho, en la teoría de los sistemas D0L (Rozemberg & Salomaa 1980) talesson las tablas de "producciones" , que tales sistemas utilizan para definir las sustituciones simultáneas de cada por una sola palabra en cualquier palabra u en W : si, luego . Entonces, b satisface la condición interna , ya que la funciónes la bien conocida biyección que identifica cada palabra endomorfismo con cualquier tabla de este tipo. (Las aplicaciones repetidas de tal endomorfismo a partir de una palabra "semilla" dada pueden modelar muchos procesos de crecimiento, donde las palabras y la concatenación sirven para construir estructuras bastante heterogéneas como en el sistema L , no solo "secuencias").
Notas
- ^ Gould.
- ↑ Grätzer, 1968, p.198.
- ^ Por ejemplo, ver (Grätzer 1968, p.198).
- ^ Por ejemplo, consulte 0.4 y 0.5 de (Ricci 2007)
- ^ Por ejemplo, consulte 0.4 (E) de (Ricci 2007)
- ^ Grätzer, 1979.
- ^ a b La notación de lenguaje formal se usa en Ciencias de la Computación y, a veces, choca con las definiciones teóricas de conjunto de palabras. Véase G. Ricci, Una observación sobre una notación de lenguaje formal, SIGACT News, 17 (1972), 18-23.
Referencias
- Gould, V. Álgebras de independencia , Algebra Universalis 33 (1995), 294–318.
- Grätzer, G. (1968). Álgebra universal , D. Van Nostrand Company Inc ..
- Grätzer, G. (1979). Álgebra universal 2-nd 2ed., Springer Verlag. ISBN 0-387-90355-0 .
- Ricci, G. (2007). Las dilataciones matan campos , int. J. Math. Álgebra de teoría de juegos, 16 5/6, págs. 13–34.
- Rozenberg G. y Salomaa A. (1980). La teoría matemática de los sistemas L , Academic Press, Nueva York. ISBN 0-12-597140-0