Conjetura de Beal

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Si donde A , B , C , x , y , z son números enteros distintos de cero y x , y , z son ≥ 3, ¿ A , B y C tienen un factor primo común?${\ Displaystyle A ^ {x} + B ^ {y} = C ^ {z}}$

La conjetura fue formulada en 1993 por Andrew Beal , un banquero y matemático aficionado , mientras investigaba las generalizaciones del último teorema de Fermat . ^{[1] [2]} Desde 1997, Beal ha ofrecido un premio monetario por una prueba revisada por pares de esta conjetura o un contraejemplo . ^[3] El valor del premio ha aumentado varias veces y actualmente es de $ 1 millón. ^[4]

En algunas publicaciones, esta conjetura se ha referido ocasionalmente como una ecuación de Fermat generalizada, ^[5] la conjetura de Mauldin, ^[6] y la conjetura de Tijdeman-Zagier. ^{[7] [8] [9]}

Para ilustrar, la solución tiene bases con un factor común de 3, la solución tiene bases con un factor común de 7 y tiene bases con un factor común de 2. De hecho, la ecuación tiene infinitas soluciones donde las bases comparten un factor común, incluyendo generalizaciones de los tres ejemplos anteriores, respectivamente${\ Displaystyle 3 ^ {3} + 6 ^ {3} = 3 ^ {5}}$${\ Displaystyle 7 ^ {3} + 7 ^ {4} = 14 ^ {3}}$${\ Displaystyle 2 ^ {n} + 2 ^ {n} = 2 ^ {n + 1}}$

Además, para cada solución (con o sin bases coprimas), hay infinitas soluciones con el mismo conjunto de exponentes y un conjunto creciente de bases no coprimas. Es decir, por solucion

Cualquier solución a la conjetura de Beal implicará necesariamente tres términos, todos los cuales son números de 3 poderosos , es decir, números donde el exponente de cada factor primo es al menos tres. Se sabe que hay un número infinito de tales sumas que involucran números coprimos 3 poderosos; ^[10] sin embargo, tales sumas son raras. Los dos ejemplos más pequeños son:

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