Número poderoso

Números cuyos factores primos dividen el número más de una vez

Demostración, con varillas Cuisenaire , de la poderosa naturaleza de 1, 4, 8 y 9

Un número poderoso es un entero positivo m tal que por cada número primo p que divide m , p ² también divide m . De manera equivalente, un número poderoso es el producto de un cuadrado y un cubo , es decir, un número m de la forma m = un ² b ³ , donde un y b son números enteros positivos. Números potentes son también conocidos como squareful , cuadrados completo , o 2-completo . Paul Erdősy George Szekeres estudió tales números y Solomon W. Golomb los nombró poderosos .

La siguiente es una lista de todos los números poderosos entre 1 y 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ... (secuencia A001694 en la OEIS ).

Equivalencia de las dos definiciones

Si m = a ² b ³ , entonces cada primo en la factorización prima de a aparece en la factorización prima de m con un exponente de al menos dos, y cada primo en la factorización prima de b aparece en la factorización prima de m con un exponente de al menos tres; por lo tanto, m es poderoso.

En la otra dirección, suponga que m es poderoso, con factorización prima

${\displaystyle m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}},}$

donde cada α _i ≥ 2. Defina γ _i como tres si α _i es impar, y cero en caso contrario, y defina β _i = α _i - γ _i . Entonces, todos los valores β _i son enteros pares no negativos, y todos los valores γ _i son cero o tres, por lo que

${\displaystyle m=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}}\right)\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}}\right)=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2}\right)^{2}\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3}\right)^{3}}$

proporciona la representación deseada de m como un producto de un cuadrado y un cubo.

De manera informal, dada la factorización prima de m , considere que b es el producto de los factores primos de m que tienen un exponente impar (si no hay ninguno, entonces considere que b es 1). Como m es poderoso, cada factor primo con un exponente impar tiene un exponente que es al menos 3, por lo que m / b ³ es un número entero. Además, cada factor primo de m / b ³ tiene un exponente par, por lo que m / b ³ es un cuadrado perfecto, así que llámalo a ² ; entonces m = a ² b³ . Por ejemplo:

${\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}\,,}$

${\displaystyle b=2\times 3=6\,,}$

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10\,,}$

${\displaystyle m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}\,.}$

La representación m = a ² b ³ calculada de esta manera tiene la propiedad de que b es libre de cuadrados y está definida unívocamente por esta propiedad.

Propiedades matematicas

La suma de los recíprocos de los números poderosos converge. El valor de esta suma se puede escribir de varias otras formas, incluso como el producto infinito

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3),}$

donde p se ejecuta sobre todos los números primos, ζ ( s ) denota la función zeta de Riemann y ζ (3) es la constante de Apéry . ^[1] De manera más general, la suma de los recíprocos de las s- ésimas potencias de los números poderosos (una función generadora de series de Dirichlet ) es igual a

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}}}$

siempre que converja.

Sea k ( x ) el número de números poderosos en el intervalo [1, x ]. Entonces k ( x ) es proporcional a la raíz cuadrada de x . Más precisamente,

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\ldots }$

(Golomb, 1970).

Los dos números poderosos consecutivos más pequeños son 8 y 9. Dado que la ecuación de Pell x ² - 8 y ² = 1 tiene infinitas soluciones integrales, hay infinitos pares de números poderosos consecutivos (Golomb, 1970); de manera más general, se pueden encontrar números poderosos consecutivos resolviendo una ecuación de Pell similar x ² - ny ² = ± 1 para cualquier cubo perfecto n . Sin embargo, uno de los dos números poderosos en un par formado de esta manera debe ser un cuadrado. Según Guy, Erdős ha preguntado si hay infinitos pares de números poderosos consecutivos como (23 ³ , 2 ³3 ² 13 ² ) en el que ninguno de los números del par es un cuadrado. Walker (1976) demostró que de hecho hay infinitos pares de este tipo al mostrar que 3 ³ c ² + 1 = 7 ³ d ² tiene infinitas soluciones. Las soluciones de Walker para esta ecuación se generan, para cualquier entero impar k , considerando el número

${\displaystyle (2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{7k}=a{\sqrt {7}}+b{\sqrt {3}},}$

para enteros un divisibles por 7 y b divisible por 3, y la construcción de una y b los números potentes consecutivos 7 un ² y 3 b ² con 7 un ² = 1 + 3 b ² . El par consecutivo más pequeño de esta familia se genera para k = 1 , a = 2637362 y b = 4028637 como

${\displaystyle 7\cdot 2637362^{2}=2^{2}\cdot 7^{3}\cdot 13^{2}\cdot 43^{2}\cdot 337^{2}=48689748233308}$

y

${\displaystyle 3\cdot 4028637^{2}=3^{3}\cdot 139^{2}\cdot 9661^{2}=48689748233307.}$

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Pueden ser poderosos tres números consecutivos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Es una conjetura de Erdős, Mollin y Walsh que no hay tres números poderosos consecutivos.

Sumas y diferencias de números poderosos

Prueba visual de que las diferencias de cuadrados consecutivos son números impares consecutivos

Cualquier número impar es una diferencia de dos cuadrados consecutivos: ( k + 1) ² = k ² + 2 k + 1, entonces ( k + 1) ²  -  k ² = 2 k + 1. De manera similar, cualquier múltiplo de cuatro es un diferencia de los cuadrados de dos números que difieren en dos: ( k + 2) ²  -  k ² = 4 k + 4. Sin embargo, un solo número par, es decir, un número divisible por dos pero no por cuatro, no se puede expresar como una diferencia de cuadrados. Esto motiva la cuestión de determinar qué números pares individuales pueden expresarse como diferencias de números poderosos. Golomb exhibió algunas representaciones de este tipo:

2 = 3 ³  - 5 ²

10 = 13 ³  - 3 ⁷

18 = 19 ²  - 7 ³ = 3 ⁵  - 15 ² .

Se había conjeturado que el 6 no se puede representar así, y Golomb conjeturó que hay infinitos números enteros que no se pueden representar como una diferencia entre dos números poderosos. Sin embargo, Narkiewicz demostró que 6 se puede representar así de infinitas formas, como

6 = 5 ⁴ 7 ³  - 463 ² ,

y McDaniel demostró que cada número entero tiene infinitas representaciones de este tipo (McDaniel, 1982).

Erdős conjeturó que cada entero suficientemente grande es una suma de como máximo tres números poderosos; esto fue probado por Roger Heath-Brown (1987).

Generalización

De manera más general, podemos considerar los números enteros cuyos factores primos tienen exponentes al menos k . Tal número entero se llama k -número poderoso, k -número completo o k -número completo.

(2 ^{k +1}  - 1) ^k , 2 ^k (2 ^{k +1}  - 1) ^k , (2 ^{k +1}  - 1) ^{k +1}

son k números poderosos en una progresión aritmética . Además, si a ₁ , a ₂ , ..., a _s son k -poderosos en una progresión aritmética con diferencia común d , entonces

a ₁ ( a _s + d ) ^k ,  

una ₂ ( una _s  +  re ) ^k , ..., una _s ( una _s  +  re ) ^k , ( una _s  + re) ^{k +1}

son s + 1 k -números poderosos en una progresión aritmética.

Tenemos una identidad que incluye k números poderosos:

una ^k ( una ^l + ... + 1) ^k + una ^{k + 1} ( una ^l + ... + 1) ^k + ... + una ^{k + l} ( una ^l + ... + 1) ^k = a ^k ( a ^l + ... +1) ^{k +1} .

Esto da un número infinito de l + 1-tuplas de k -números poderosos cuya suma también es k -poderosos. Nitaj muestra que hay infinitas soluciones de x + y = z en números primos relativamente poderosos de 3 (Nitaj, 1995). Cohn construye una familia infinita de soluciones de x + y = z en números relativamente primos no cúbicos de 3 poderosos de la siguiente manera: el triplete

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

es una solución de la ecuación 32 X ³ + 49 Y ³ = 81 Z ³ . Podemos construir otra solución estableciendo X ′ = X (49 Y ³  + 81 Z ³ ), Y ′ = - Y (32 X ³  + 81 Z ³ ), Z ′ = Z (32 X ³  - 49 Y ³ ) y omitiendo el divisor común.

Ver también

• Número de Aquiles
• Número muy poderoso

Notas

1. (Golomb, 1970)

Referencias

• Cohn, JHE (1998). "Una conjetura de Erdős sobre 3 números poderosos" . Matemáticas. Comp . 67 (221): 439–440. doi : 10.1090 / S0025-5718-98-00881-3 .
• Erdős, Paul y Szekeres, George (1934). "Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problema". Acta Litt. Sci. Szeged . 7 : 95-102.
• Golomb, Solomon W. (1970). "Números poderosos". American Mathematical Monthly . 77 (8): 848–852. doi : 10.2307 / 2317020 . JSTOR  2317020 .
• Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag. Sección B16. ISBN 978-0-387-20860-2.
• Heath-Brown, Roger (1988). "Formas cuadráticas ternarias y sumas de tres números cuadrados completos". Séminaire de Théorie des Nombres, París, 1986-7 . Boston: Birkhäuser. págs. 137-163.
• Heath-Brown, Roger (1990). "Sumas de tres números cuadrados completos". Teoría de números, I (Budapest, 1987) . Coloq. Matemáticas. Soc. János Bolyai, nro. 51. págs. 163-171.
• Ivić, Aleksandar (1985). La función zeta de Riemann. La teoría de la función zeta de Riemann con aplicaciones . Una publicación de Wiley-Interscience. Nueva York, etc .: John Wiley & Sons. págs. 33–34, 407–413. ISBN 978-0-471-80634-9. Zbl  0556.10026 .
• McDaniel, Wayne L. (1982). "Representaciones de cada entero como la diferencia de números poderosos". Fibonacci Quarterly . 20 : 85–87.
• Nitaj, Abderrahmane (1995). "Sobre una conjetura de Erdős sobre 3 números poderosos". Toro. London Math. Soc. 27 (4): 317–318. CiteSeerX  10.1.1.24.563 . doi : 10.1112 / blms / 27.4.317 .
• Walker, David T. (1976). "Pares enteros consecutivos de números poderosos y ecuaciones diofánticas relacionadas" (PDF) . El Fibonacci Quarterly . 14 (2): 111-116. Señor  0409348 .

enlaces externos

• Número completo en Encyclopedia of Mathematics .
• Weisstein, Eric W. "Número poderoso" . MathWorld .
• La conjetura de abc
• Secuencia OEIS A060355 (Números n tales que n y n + 1 son un par de números poderosos consecutivos)