El algoritmo de Beeman es un método para integrar numéricamente ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 2, más específicamente las ecuaciones de movimiento de Newton.. Fue diseñado para permitir un gran número de partículas en simulaciones de dinámica molecular. Hay una variante directa o explícita e implícita del método. La variante directa fue publicada por Schofield en 1973 [1] como una comunicación personal de Beeman. Esto es lo que se conoce comúnmente como método de Beeman . Es una variante del método de integración Verlet . Produce posiciones idénticas, pero usa una fórmula diferente para las velocidades. Beeman en 1976 publicó [2] una clase de métodos de múltiples pasos implícitos (predictor-corrector), donde el método de Beeman es la variante directa del método de tercer orden en esta clase.
Ecuación
La fórmula utilizada para calcular las posiciones en el momento en el esquema completo de predictor-corrector [2] es:
- Predecir a partir de datos a veces
- .
- Posición y velocidades correctas en el momento a partir de datos a veces por evaluación repetida de la ecuación diferencial para obtener la aceleración y de las ecuaciones del sistema implícito
- En las pruebas se encontró que este paso del corrector debe repetirse como máximo dos veces. Los valores de la derecha son los valores antiguos de las últimas iteraciones, lo que da como resultado los nuevos valores de la izquierda.
Utilizando solo la fórmula del predictor y el corrector de las velocidades se obtiene un método directo o explícito [1] que es una variante del método de integración de Verlet: [3]
Esta es la variante que se suele entender como método de Beeman .
Beeman [2] también propuso reemplazar alternativamente la actualización de velocidad en la última ecuación por el método Adams-Moulton de segundo orden :
dónde
- es tiempo presente (es decir: variable independiente)
- es el tamaño del paso de tiempo
- es la posición en el tiempo t
- es la velocidad en el tiempo t
- es la aceleración en el tiempo t, calculada como una función de
- el último término es el término de error, usando la notación O grande
Modificaciones del predictor-corrector
En sistemas donde las fuerzas son una función de la velocidad además de la posición, las ecuaciones anteriores deben modificarse en una forma de predictor-corrector mediante la cual las velocidades en el tiempo se predicen y se calculan las fuerzas, antes de producir una forma corregida de las velocidades.
Un ejemplo es:
Las velocidades en el tiempo luego se calculan (predicen) a partir de las posiciones.
Las aceleraciones en el momento luego se calculan a partir de las posiciones y velocidades predichas, y se corrigen las velocidades.
Término de error
Como se muestra arriba, el término de error local es para la posición y velocidad, resultando en un error global de . En comparación, Verlet espara posición y velocidad. A cambio de una mayor precisión, el algoritmo de Beeman es moderadamente más caro desde el punto de vista computacional.
Requisitos de memoria
La simulación debe realizar un seguimiento de la posición, la velocidad, la aceleración y los vectores de aceleración anteriores por partícula (aunque son posibles algunas soluciones ingeniosas para almacenar el vector de aceleración anterior), manteniendo sus requisitos de memoria a la par con la velocidad Verlet y un poco más caro que el método Verlet original .
Referencias
- ^ a b Schofield, P. (1973), "Estudios de simulación por computadora del estado líquido", Computer Physics Communications , 5 (1): 17-23, doi : 10.1016 / 0010-4655 (73) 90004-0
- ^ a b c Beeman, David (1976), "Algunos métodos de varios pasos para su uso en cálculos de dinámica molecular", Journal of Computational Physics , 20 (2), págs. 130-139, doi : 10.1016 / 0021-9991 (76) 90059-0
- ^ Levitt, Michael; Meirovitch, Hagai; Huber, R. (1983), "Integración de las ecuaciones del movimiento", Journal of Molecular Biology , 168 (3): 617–620, doi : 10.1016 / S0022-2836 (83) 80305-2 , PMID 6193281
- Sadus, Richard J. (2002), Teoría molecular de los fluidos: teoría, algoritmos y orientación a objetos , Elsevier, p. 231, ISBN 0-444-51082-6