Integral de Berezín

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En física matemática , la integral de Berezin , llamada así por Felix Berezin , (también conocida como integral de Grassmann , por Hermann Grassmann ), es una forma de definir la integración para funciones de variables de Grassmann (elementos del álgebra exterior ). No es una integral en el sentido de Lebesgue ; la palabra "integral" se usa porque la integral de Berezin tiene propiedades análogas a la integral de Lebesgue y porque extiende la integral de trayectoria en física, donde se usa como una suma sobre historias para fermiones .

Sea el álgebra exterior de polinomios en elementos anticonmutadores sobre el campo de los números complejos. (El orden de los generadores es fijo y define la orientación del álgebra exterior).${\ estilo de visualización \ Lambda ^ {n}}$${\ estilo de visualización \ theta _ {1}, \ puntos, \ theta _ {n}}$${\ estilo de visualización \ theta _ {1}, \ puntos, \ theta _ {n}}$

La integral de Berezin sobre la única variable de Grassmann se define como un funcional lineal${\ estilo de visualización \ theta = \ theta _ {1}}$

Tenga en cuenta que es la función más general de porque las variables de Grassmann son cuadradas a cero, por lo que no pueden tener términos distintos de cero más allá del orden lineal.${\displaystyle f(\theta)=a\theta +b}$${\ estilo de visualización \ theta}$${\ estilo de visualización f (\ theta)}$

La integral de Berezin se define como la única funcional lineal con las siguientes propiedades:${\ estilo de visualización \ Lambda ^ {n}}$${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\cdot {\textrm {d}}\theta }$

para cualquier donde significa la derivada parcial izquierda o derecha. Estas propiedades definen la integral de forma única.${\ estilo de visualización f \ en \ Lambda ^ {n},}$${\displaystyle \parcial /\parcial \theta _{i}}$

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