En lógica matemática , la definibilidad de Beth es un resultado que conecta la definibilidad implícita de una propiedad con su definibilidad explícita. Específicamente, la definibilidad de Beth afirma que los dos sentidos de definibilidad son equivalentes.
La lógica de primer orden tiene la propiedad de definibilidad de Beth.
Declaración
Para la lógica de primer orden, el teorema establece que, dada una teoría T en el lenguaje L ' ⊇ L y una fórmula φ en L' , entonces los siguientes son equivalentes:
- para dos modelos cualesquiera A y B de T tales que A | L = B | L (donde A | L es la reducción de A a L ), se da el caso de que A ⊨ φ [ a ] si y solo si B ⊨ φ [ a ] (para todas las tuplas a de A )
- φ es modulo equivalente T a una fórmula ψ en L .
De manera menos formal: una propiedad es definible implícitamente en una teoría en el lenguaje L (a través de una fórmula φ de un lenguaje extendido L ' ) solo si esa propiedad es explícitamente definible en esa teoría (por la fórmula ψ en el lenguaje original L ).
Claramente, lo contrario también se cumple, de modo que tenemos una equivalencia entre definibilidad implícita y explícita. Es decir, una "propiedad" es definible implícitamente con respecto a una teoría si y sólo si es explícitamente definible.
El teorema no se cumple si la condición se restringe a modelos finitos. Podemos tener una ⊨ φ [ un ] si y sólo si B ⊨ φ [ un ] para todos los pares A , B de modelos finitos sin que sea L fórmula de L ψ equivalente a φ módulo T .
El resultado fue probado por primera vez por Evert Willem Beth .
Fuentes
- Wilfrid Hodges Una teoría de modelos más breve . Prensa de la Universidad de Cambridge, 1997.