En matemáticas, una serie hipergeométrica bilateral es una serie Σ a n sumada a todos los enteros n , y tal que la razón
- un n / a n +1
de dos términos es una función racional de n . La definición de la serie hipergeométrica generalizada es similar, excepto que los términos con n negativo deben desaparecer; las series bilaterales en general tener un número infinito de no cero términos para tanto positivos como negativos n .
La serie hipergeométrica bilateral no converge para la mayoría de las funciones racionales, aunque se puede continuar analíticamente en una función definida para la mayoría de las funciones racionales. Hay varias fórmulas de suma que dan sus valores para valores especiales donde converge.
Definición
La serie hipergeométrica bilateral p H p se define por
dónde
es el símbolo factorial ascendente o Pochhammer .
Por lo general, la variable z se toma como 1, en cuyo caso se omite de la notación. Es posible definir la serie p H q con p y q diferentes de manera similar, pero esta o no converge o puede reducirse a la serie hipergeométrica habitual mediante cambios de variables.
Convergencia y continuación analítica
Suponga que ninguna de las variables a o b son números enteros, de modo que todos los términos de la serie son finitos y distintos de cero. Entonces los términos con n <0 divergen si | z | <1, y los términos con n > 0 divergen si | z | > 1, por lo que la serie no puede converger a menos que | z | = 1. Cuando | z | = 1, la serie converge si
La serie hipergeométrica bilateral se puede continuar analíticamente a una función meromórfica multivalor de varias variables cuyas singularidades son puntos de ramificación en z = 0 y z = 1 y polos simples en a i = −1, −2, ... y b i = 0 , 1, 2, ... Esto se puede hacer de la siguiente manera. Supongamos que ninguna de las una o b variables son números enteros. Los términos con n positivo convergen para | z | <1 a una función que satisface una ecuación lineal no homogénea con singularidades en z = 0 y z = 1, por lo que se puede continuar con una función multivalor con estos puntos como puntos de ramificación. De manera similar, los términos con n negativo convergen para | z | > 1 a una función que satisface una ecuación lineal no homogénea con singularidades en z = 0 y z = 1, por lo que también se puede continuar con una función multivalor con estos puntos como puntos de ramificación. La suma de estas funciones da la continuación analítica de la serie hipergeométrica bilateral a todos los valores de z distintos de 0 y 1, y satisface una ecuación diferencial lineal en z similar a la ecuación diferencial hipergeométrica.
Fórmulas de suma
Suma bilateral de Dougall
( Dougall 1907 )
Esto a veces se escribe en forma equivalente.
Fórmula de Bailey
( Bailey 1959 ) dio la siguiente generalización de la fórmula de Dougall:
dónde
Ver también
Referencias
- Bailey, WN (1959), "Sobre la suma de una serie hipergeométrica bilateral particular 3 H 3 ", The Quarterly Journal of Mathematics , Segunda serie, 10 : 92–94, doi : 10.1093 / qmath / 10.1.92 , ISSN 0033- 5606 , MR 0107727
- Dougall, J. (1907), "Sobre el teorema de Vandermonde y algunas expansiones más generales", Proc. Matemáticas de Edimburgo. Soc. , 25 : 114–132, doi : 10.1017 / S0013091500033642
- Slater, Lucy Joan (1966), Funciones hipergeométricas generalizadas , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 0-521-06483-X, MR 0201688 (hay un libro de bolsillo de 2008 con ISBN 978-0-521-09061-2 )