En matemáticas , el teorema de Birch , [1] llamado así por Bryan John Birch , es un enunciado sobre la representabilidad del cero mediante formas de grados impares.
Declaración del teorema de Birch
Deje que K sea un campo de número algebraico , k , l y n sea números naturales , r 1 ,. . . , R k ser números naturales impares, y f 1 ,. . . , F k ser polinomios homogéneos con coeficientes en K de grados r 1 ,. . . , r k respectivamente en n variables, entonces existe un número ψ ( r 1 ,..., r k ,l , K ) tal que
implica que existe un subespacio vectorial l- dimensional V de K n tal que
Observaciones
La prueba del teorema es por inducción sobre el grado máximo de las formas f 1 ,. . . , f k . Es esencial para la demostración un caso especial, que puede demostrarse mediante la aplicación del método del círculo de Hardy-Littlewood , del teorema que establece que si n es suficientemente grande y r es impar, entonces la ecuación
tiene una solución en números enteros x 1 ,. . . , x n , no todos son 0.
La restricción a r impar es necesaria, ya que las formas de grados pares, como las formas cuadráticas definidas positivas , pueden tomar el valor 0 sólo en el origen.
Referencias
- ^ BJ Birch, Formas homogéneas de grado impar en un gran número de variables , Mathematika, 4 , páginas 102-105 (1957)