En el análisis complejo , un campo dentro de las matemáticas , el teorema de Bloch da un límite inferior al tamaño de un disco en el que existe una función inversa a una holomórfica . Lleva el nombre de André Bloch .
Declaración
Sea f una función holomórfica en el disco unitario | z | ≤ 1. Suponga que | f ′ (0) | = 1. Entonces existe un disco de radio by una función analítica φ en este disco, tal que f (φ ( z )) = z para todo z en este disco. Aquí b > 1/72 es una constante absoluta.
Teorema de Landau
Si f es una función holomórfica en el disco unitario con la propiedad | f ′ (0) | = 1, entonces la imagen de f contiene un disco de radio l , donde l ≥ b es una constante absoluta.
Este teorema lleva el nombre de Edmund Landau .
Teorema de Valiron
El teorema de Bloch se inspiró en el siguiente teorema de Georges Valiron :
Teorema. Si f es una función entera no constante entonces existen discos D de arbitrariamente grande radio y las funciones analíticas varphi en D tal que f (φ ( z )) = z para z en D .
El teorema de Bloch corresponde al teorema de Valiron a través del llamado Principio de Bloch .
Constantes de Bloch y Landau
El límite inferior 1/72 en el teorema de Bloch no es el mejor posible. El número B definido como el supremo de todo b para el que se cumple este teorema se denomina constante de Bloch . El teorema de Bloch nos dice que B ≥ 1/72, pero aún se desconoce el valor exacto de B.
La constante óptima L definida de manera similar en el teorema de Landau se llama constante de Landau . También se desconoce su valor exacto.
Los límites más conocidos para B en la actualidad son
donde Γ es la función Gamma . El límite inferior fue probado por Chen y Gauthier, y el límite superior se remonta a Ahlfors y Grunsky. También dieron un límite superior para la constante de Landau.
En su artículo, Ahlfors y Grunsky conjeturaron que sus límites superiores son en realidad los verdaderos valores de B y L .
Referencias
- Ahlfors, Lars Valerian ; Grunsky, Helmut (1937). "Über die Blochsche Konstante". Mathematische Zeitschrift . 42 (1): 671–673. doi : 10.1007 / BF01160101 .
- Baernstein, Alberto II; Vinson, Jade P. (1998). "Resultados de minimidad local relacionados con las constantes de Bloch y Landau". Mapeos y análisis cuasiconformales . Ann Arbor: Springer, Nueva York. págs. 55–89.
- Bloch, André (1925). "Les théorèmes de M.Valiron sur les fonctions entières et la théorie de l'uniformisation". Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse . 17 (3): 1–22. ISSN 0240-2963 .
- Chen, Huaihui; Gauthier, Paul M. (1996). "Sobre la constante de Bloch". Journal d'Analyse Mathématique . 69 (1): 275-291. doi : 10.1007 / BF02787110 .