En matemáticas , una función holomórfica es una función de valor complejo de una o más variables complejas que es, en cada punto de su dominio , complejo diferenciable en una vecindad del punto. La existencia de una derivada compleja en una vecindad es una condición muy fuerte, ya que implica que cualquier función holomórfica es en realidad infinitamente diferenciable e igual, localmente, a su propia serie de Taylor ( analítica ). Las funciones holomorfas son los objetos centrales de estudio en el análisis complejo .
Aunque el término función analítica a menudo se usa indistintamente con "función holomórfica", la palabra "analítica" se define en un sentido más amplio para denotar cualquier función (real, compleja o de tipo más general) que pueda escribirse como una serie de potencia convergente. en una vecindad de cada punto en su dominio . El hecho de que todas las funciones holomórficas sean funciones analíticas complejas, y viceversa, es un teorema importante en el análisis complejo . [1]
Las funciones holomórficas también se denominan a veces funciones regulares . [2] [3] Una función holomórfica cuyo dominio es el plano complejo completo se denomina función completa . La frase "holomórfico en un punto z 0 " significa no solo diferenciable en z 0 , sino diferenciable en todas partes dentro de alguna vecindad de z 0 en el plano complejo.
Definición
Dada una función de valor complejo f de una sola variable compleja, la derivada de f en un punto z 0 en su dominio está definida por el límite [4]
Esta es la misma que la definición de la derivada para funciones reales, excepto que todas las cantidades son complejas. En particular, el límite se toma cuando el número complejo z se acerca a z 0 , y debe tener el mismo valor para cualquier secuencia de valores complejos para z que se acerque a z 0 en el plano complejo. Si existe el límite, decimos que f es complejamente diferenciable en el punto z 0 . Este concepto de diferenciabilidad compleja comparte varias propiedades con la diferenciabilidad real : es lineal y obedece a la regla del producto , la regla del cociente y la regla de la cadena . [5]
Si f es diferenciable compleja en cada punto z 0 en un conjunto abierto U , decimos que f es holomorfa en U . Decimos que f es holomórfica en el punto z 0 si f es complejamente diferenciable en alguna vecindad de z 0 . [6] Decimos que f es holomorfa en algún conjunto no abierta Un si es holomorfa en un conjunto abierto que contiene una . Como no-ejemplo patológico, la función dada por f ( z ) = | z | 2 es compleja diferenciable en exactamente un punto ( z 0 = 0), y por esta razón, es no holomorphic a 0, porque no existe un conjunto abierto alrededor de 0 en la que f es diferenciable complejo.
La relación entre diferenciabilidad real y diferenciación compleja es la siguiente. Si una función compleja f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) es holomórfica, entonces u y v tienen primeras derivadas parciales con respecto a x e y , y satisfacen el criterio de Cauchy-Riemann ecuaciones : [7]
o, de manera equivalente, la derivada de Wirtinger de f con respecto al conjugado complejo de z es cero: [8]
lo que quiere decir que, a grandes rasgos, f es funcionalmente independiente del complejo conjugado de z .
Si no se da continuidad, lo contrario no es necesariamente cierto. A converse simple es que si u y v tienen continuas primeras derivadas parciales y satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es holomorfa. A converse más satisfactorio, que es mucho más difícil de probar, es el teorema Looman-Menchoff : si f es continua, u y v tienen derivadas primera parciales (pero no necesariamente continua), y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es decir holomorfo. [9]
Terminología
La palabra "holomorfo" fue introducida por dos de los estudiantes de Cauchy , Briot (1817-1882) y Bouquet (1819-1895), y deriva del griego ὅλος ( holos ) que significa "completo", y μορφή ( morphē ) que significa " forma "o" apariencia ". [10]
Hoy en día, el término "función holomórfica" a veces se prefiere a "función analítica". Un resultado importante en el análisis complejo es que toda función holomórfica es analítica compleja, un hecho que no se sigue obviamente de las definiciones. Sin embargo, el término "analítico" también se utiliza ampliamente.
Propiedades
Debido a que la diferenciación compleja es lineal y obedece a las reglas del producto, el cociente y la cadena, las sumas, productos y composiciones de las funciones holomórficas son holomórficas y el cociente de dos funciones holomórficas es holomórfico donde el denominador no es cero. [11]
Si se identifica C con R 2 , entonces las funciones holomórficas coinciden con aquellas funciones de dos variables reales con primeras derivadas continuas que resuelven las ecuaciones de Cauchy-Riemann , un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales . [7]
Cada función holomórfica se puede separar en sus partes real e imaginaria, y cada una de estas es una solución de la ecuación de Laplace en R 2 . En otras palabras, si expresamos una función holomórfica f ( z ) como u ( x , y ) + i v ( x , y ) tanto u como v son funciones armónicas , donde v es el conjugado armónico de u. [12]
El teorema de la integral de Cauchy implica que la integral de contorno de cada función holomórfica a lo largo de un bucle desaparece: [13]
Aquí γ es una ruta rectificable en un subconjunto abierto U simplemente conectado del plano complejo C cuyo punto inicial es igual a su punto final, y f : U → C es una función holomórfica.
La fórmula integral de Cauchy establece que cada función holomórfica dentro de un disco está completamente determinada por sus valores en el límite del disco. [13] Además: Supongamos que U es un subconjunto abierto de C , f : U → C es una función holomórfica y el disco cerrado D = { z : | z - z 0 | ≤ r } está completamente contenida en U . Let γ ser el círculo que forma el límite de D . Luego, para cada a en el interior de D :
donde la integral del contorno se toma en sentido antihorario .
La derivada f ′ ( a ) se puede escribir como una integral de contorno [13] usando la fórmula de diferenciación de Cauchy :
para cualquier bucle simple que se enrolle positivamente una vez alrededor de a , y
para bucles positivos infinitesimales γ alrededor de a .
En las regiones donde la primera derivada no es cero, las funciones holomórficas son conformes en el sentido de que conservan los ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas. [14]
Toda función holomórfica es analítica . Es decir, una función holomórfica f tiene derivadas de todo orden en cada punto a de su dominio, y coincide con su propia serie de Taylor en a en una vecindad de a . De hecho, f coincide con su serie de Taylor en a en cualquier disco centrado en ese punto y que se encuentre dentro del dominio de la función.
Desde un punto de vista algebraico, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto es un anillo conmutativo y un espacio vectorial complejo . Además, el conjunto de funciones holomórficas en un conjunto abierto U es un dominio integral si y solo si el conjunto abierto U está conectado. [8] De hecho, es un espacio vectorial topológico localmente convexo , siendo las seminormas las supremas en los subconjuntos compactos .
Desde una perspectiva geométrica, una función f es holomórfica en z 0 si y solo si su derivada exterior df en una vecindad U de z 0 es igual af ′ ( z ) dz para alguna función continua f ′. Se sigue de
que df ′ también es proporcional a dz , lo que implica que la derivada f ′ es en sí misma holomórfica y, por lo tanto, f es infinitamente diferenciable. Del mismo modo, el hecho de que d ( f dz ) = f ' dz ∧ dz = 0 implica que cualquier función f que es holomorphic en la región simplemente conectado U también es integrable en U . (Para un camino γ de z 0 a z que se encuentra completamente en U , defina
- ;
A la luz del teorema de la curva de Jordan y el teorema generalizado de Stokes , F γ ( z ) es independiente de la elección particular de la ruta γ, y por lo tanto F ( z ) es una función bien definida en U que tiene F ( z 0 ) = F 0 y dF = f dz .)
Ejemplos de
Todas las funciones polinomiales en z con coeficientes complejos son holomorfas en C , al igual que el seno , el coseno y la función exponencial . (De hecho, las funciones trigonométricas están estrechamente relacionadas con la función exponencial y pueden definirse mediante la fórmula de Euler ). La rama principal de la función de logaritmo complejo es holomórfica en el conjunto C ∖ { z ∈ R : z ≤ 0}. La función de raíz cuadrada se puede definir como
y, por tanto, es holomórfico dondequiera que esté el logaritmo log ( z ). La función 1 / z es holomórfica en { z : z ≠ 0}.
Como consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann , una función holomórfica de valor real debe ser constante. Por tanto, el valor absoluto de z , el argumento de z , la parte real de z y la parte imaginaria de z no son holomorfos. Otro ejemplo típico de una función continua que no es holomórfica es el complejo conjugado z formado por conjugación compleja .
Varias variables
La definición de una función holomórfica se generaliza a varias variables complejas de una manera sencilla. Let D denota un subconjunto abierto de C n , y sea f : D → C . La función f es analítica en un punto p en D si existe una vecindad abierta de p en la que f es igual a una serie de potencias convergentes en n variables complejas. [15] Defina f como holomórfico si es analítico en cada punto de su dominio. El lema de Osgood muestra (usando la fórmula integral de Cauchy multivariante) que, para una función continua f , esto es equivalente a que f sea holomórfica en cada variable por separado (lo que significa que si cualquier coordenada n - 1 es fija, entonces la restricción de f es una holomorfa función de la coordenada restante). El teorema de Hartogs, mucho más profundo , demuestra que la hipótesis de la continuidad es innecesaria: f es holomórfica si y solo si es holomórfica en cada variable por separado.
De manera más general, una función de varias variables complejas que es cuadrática integrable sobre cada subconjunto compacto de su dominio es analítica si y solo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el sentido de distribuciones.
Las funciones de varias variables complejas son, en algunos aspectos básicos, más complicadas que las funciones de una sola variable compleja. Por ejemplo, la región de convergencia de una serie de potencias no es necesariamente una bola abierta; estas regiones son dominios de Reinhardt , el ejemplo más simple de los cuales es un polidisco . Sin embargo, también vienen con algunas restricciones fundamentales. A diferencia de las funciones de una sola variable compleja, los posibles dominios en los que hay funciones holomórficas que no pueden extenderse a dominios más grandes son muy limitados. Este conjunto se denomina dominio de holomorfia .
Una forma diferencial compleja ( p , 0) α es holomórfica si y solo si su derivada antiholomórfica de Dolbeault es cero,.
Extensión al análisis funcional
El concepto de función holomórfica puede extenderse a los espacios de dimensión infinita del análisis funcional . Por ejemplo, la derivada de Fréchet o Gateaux se puede utilizar para definir una noción de función holomórfica en un espacio de Banach sobre el campo de números complejos.
Ver también
- Antiderivada (análisis complejo)
- Función antiholomorfa
- Biholomorfia
- Separabilidad holomórfica
- Función meromórfica
- Dominios en cuadratura
- Mapas de armónicos
- Morfismos armónicos
- Derivados de Wirtinger
Referencias
- ^ Funciones analíticas de una variable compleja , Enciclopedia de las matemáticas. (Sociedad Europea de Matemáticas con Springer, 2015)
- ^ "Función analítica" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994] , consultado el 26 de febrero de 2021
- ^ Adam Getchel. "Función regular" . MathWorld . Consultado el 26 de febrero de 2021 .
- ^ Ahlfors, L. , Análisis complejo, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
- ^ Henrici, P. , Análisis complejo computacional y aplicado (Wiley). [Tres volúmenes: 1974, 1977, 1986.]
- ^ Peter Ebenfelt, Norbert Hungerbühler, Joseph J. Kohn, Ngaiming Mok, Emil J. Straube (2011) Análisis complejo Springer Science & Business Media
- ↑ a b Markushevich, AI, Teoría de las funciones de una variable compleja (Prentice-Hall, 1965). [Tres volúmenes.]
- ^ a b Gunning, Robert C .; Rossi, Hugo (1965), Funciones analíticas de varias variables complejas , serie de Prentice-Hall en análisis moderno, Englewood Cliffs , Nueva Jersey: Prentice-Hall , págs. Xiv + 317, ISBN 9780821869536, MR 0180696 , Zbl 0.141,08601
- ^ Gray, JD; Morris, SA (1978), "When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?", The American Mathematical Monthly (publicado en abril de 1978), 85 (4): 246-256, doi : 10.2307 / 2321164 , JSTOR 2321164.
- ^ Markushevich, AI (2005) [1977]. Silverman, Richard A. (ed.). Teoría de funciones de una variable compleja (2ª ed.). Nueva York: American Mathematical Society . pag. 112. ISBN 0-8218-3780-X.
- ^ Henrici, Peter (1993) [1986], Applied and Computational Complex Analysis Volume 3 , Wiley Classics Library (Reimpresión ed.), Nueva York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapur: John Wiley & Sons , págs. X + 637, ISBN 0-471-58986-1, MR 0822470 , Zbl 1107.30300.
- ^ Evans, Lawrence C. (1998), ecuaciones diferenciales parciales , American Mathematical Society.
- ^ a b c Lang, Serge (2003), Análisis complejo , Springer Verlag GTM, Springer Verlag
- ^ Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3ª ed.), Nueva York: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
- ^ Gunning y Rossi, Funciones analíticas de varias variables complejas , p. 2.
Otras lecturas
- Blakey, Joseph (1958). Matemáticas Universitarias (2ª ed.). Londres: Blackie and Sons. OCLC 2370110 .
enlaces externos
- "Función analítica" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]