En matemáticas , una matriz de bloques pseudoinversa es una fórmula para la pseudoinversa de una matriz particionada . Esto es útil para descomponer o aproximar muchos algoritmos que actualizan parámetros en el procesamiento de señales , que se basan en el método de mínimos cuadrados .
Considere una matriz particionada por columnas:
Si la matriz anterior es de rango completo, las matrices inversas de Moore-Penrose y su transpuesta son
Este cálculo de la pseudoinversa requiere ( n + p ) inversión de matriz cuadrada y no aprovecha la forma de bloque.
Para reducir los costos computacionales en inversiones de matrices cuadradas n y p e introducir paralelismo, tratando los bloques por separado, se deriva [1]
donde las matrices de proyección ortogonal están definidas por
Las fórmulas anteriores no son necesariamente válidas si no tiene rango completo, por ejemplo, si , luego
Dadas las mismas matrices que las anteriores, consideramos los siguientes problemas de mínimos cuadrados, que aparecen como múltiples optimizaciones objetivas o problemas restringidos en el procesamiento de señales. Eventualmente, podemos implementar un algoritmo paralelo para mínimos cuadrados basado en los siguientes resultados.
Partición por columnas en mínimos cuadrados sobredeterminados
Supongamos una solución resuelve un sistema sobredeterminado:
Usando la matriz de bloques pseudoinversa, tenemos
Por tanto, tenemos una solución descompuesta:
Partición por filas en mínimos cuadrados subdeterminados
Supongamos una solución resuelve un sistema subdeterminado:
La solución de norma mínima viene dada por
Usando la matriz de bloques pseudoinversa, tenemos
En vez de , necesitamos calcular directa o indirectamente [ cita requerida ] [ investigación original? ]
En un sistema denso y pequeño, podemos utilizar la descomposición en valores singulares , descomposición QR , o la descomposición de Cholesky para reemplazar las inversiones de la matriz con las rutinas numéricas. En un sistema grande, podemos emplear métodos iterativos como los métodos subespaciales de Krylov.
Teniendo en cuenta los algoritmos paralelos , podemos calcular y en paralelo. Luego, terminamos de calcular y también en paralelo.