El hijo del Jefe Stahlmeister , el príncipe Alexander Borisovich Kurakin y Alexandra Ivanovna , de soltera Panina. Nada se sabe de su infancia y juventud; en 1761 - teniente general; en 1762, fue el hofmeister.
Habiendo establecido una comisión el 29 de noviembre de 1762 para resolver el problema de las propiedades monásticas, Catalina II nombró a personas seculares para esta comisión: el senador conde Ivan Vorontsov, el príncipe Sergey Gagarin, el fiscal jefe del Santo Sínodo, el príncipe Kozlovsky, Teplov y el príncipe Boris Kurakin. Tras el establecimiento del Colegio de Economía el 12 de mayo de 1763, el Príncipe Kurakin fue nombrado su presidente. Este fue un nombramiento muy importante: el Colegio de Ahorros iba a recaudar más de un millón y medio de ingresos, es decir, casi una décima parte del presupuesto total de entonces de Rusia.
Por decreto del 30 de marzo de 1764, el Colegio de Cámaratambién se le encomendó su gestión; Kurakin también fue nombrado senador. Aprendemos de los documentos de la emperatriz que estaba insatisfecha con la "situación silenciosa" de un colegio tan importante como el Colegio de Cámara y su nombramiento como presidente Kurakin esperaba revivirlo. La ausencia de una agencia gubernamental superior que administrara las finanzas del estado en su conjunto fue un vacío muy importante en el gobierno ruso a lo largo del siglo XVIII, y el intento de crear tal agencia, iniciado por la unión del Chamber Collegium y el Collegium de Ahorro, es sumamente notable. Y el príncipe Boris Kurakin pertenecía en este sentido, sin duda, el papel principal. El Archivo Estatal contiene dos informes notables presentados por él a la Emperatriz sobre cuestiones de economía estatal; después de ellos,
El Colegio de Cámara en ese momento actuó de acuerdo con las regulaciones de 1731, que restringieron significativamente sus tareas en comparación con cómo las delineó Pedro el Grande . El príncipe Kurakin propuso volver en general a lo que Peter había fijado como tarea del colegio. Argumentó que el Colegio de Cámara no sólo debe estar pendiente de los ingresos, sino que debe gestionar, abrir y crear nuevas fuentes de ingresos, mejorando, principalmente, la situación de aquellas clases que mayoritariamente generan ingresos.
La emperatriz Catalina apreciaba mucho las actividades de Kurakin. Recibida noticia en San Petersburgo de su grave enfermedad, le envió el siguiente rescripto el 21 de noviembre de 1764, en el que atribuye de su puño y letra las dos últimas frases:
¡Príncipe Boris Alexandrovich! Lamento inmensamente que esté enfermo y deseo escuchar acerca de su alivio. Os recomiendo que dejéis todos vuestros trabajos a cargo de vosotros, porque vosotros, según oigo, no los dejáis enfermos. No te molestes con nada para lo que no estés completamente maduro. Escuché que no estás tomando medicamentos, quizás al menos me cuides; Necesito tu salud.