En matemáticas , el algoritmo de Borwein es un algoritmo ideado por Jonathan y Peter Borwein para calcular el valor de 1 / π . Idearon varios otros algoritmos. Publicaron el libro Pi and the AGM - A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity . [1]
Estos dos son ejemplos de una serie Ramanujan – Sato . El algoritmo de Chudnovsky relacionado usa un discriminante con la clase número 1.
Clase número 2 (1989)
Empiece por configurar [ cita requerida ]
Luego
Cada término adicional de la suma parcial produce aproximadamente 25 dígitos.
Clase número 4 (1993)
Empiece por configurar [ cita requerida ]
Luego
Cada término adicional de la serie produce aproximadamente 50 dígitos.
Convergencia cuadrática (1984)
Empiece por configurar [2]
Luego itera
Entonces p k converge cuadráticamente a π ; es decir, cada iteración duplica aproximadamente el número de dígitos correctos. El algoritmo no se autocorrige; cada iteración debe realizarse con el número deseado de dígitos correctos para el resultado final de π .
Convergencia cúbica (1991)
Empiece por configurar
Luego itera
Entonces a k converge cúbicamente a 1 / π ; es decir, cada iteración triplica aproximadamente el número de dígitos correctos.
Convergencia cuartica (1985)
Empiece por configurar [3]
Luego itera
Entonces a k converge cuarticamente contra 1 / π ; es decir, cada iteración cuadruplica aproximadamente el número de dígitos correctos. El algoritmo no se autocorrige; cada iteración debe realizarse con el número deseado de dígitos correctos para el resultado final de π .
Una iteración de este algoritmo es equivalente a dos iteraciones del algoritmo de Gauss-Legendre . Puede encontrar una prueba de estos algoritmos aquí: [4]
Convergencia quíntica
Empiece por configurar
dónde es la proporción áurea . Luego itera
Entonces a k converge quínticamente a 1 / π (es decir, cada iteración quintuplica aproximadamente el número de dígitos correctos) y se cumple la siguiente condición:
Convergencia nónica
Empiece por configurar
Luego itera
Entonces a k converge de forma no normal a 1 / π ; es decir, cada iteración multiplica aproximadamente el número de dígitos correctos por nueve. [5]