Bram van Leer
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Bram van Leer
Bram van Leer - UM aeroespacial.jpg
El profesor van Leer en el edificio de ingeniería aeroespacial FXB de la Universidad de Michigan
Nació
Indias Orientales Holandesas
alma materUniversidad de Leiden
Conocido porEsquema MUSCL
Carrera científica
Los camposAnálisis numérico de
dinámica de fluidos CFD
InstitucionesUniversidad de Michigan
Asesor de doctoradoHendrik C. van de Hulst

Bram van Leer es profesor emérito Arthur B. Modine de ingeniería aeroespacial en la Universidad de Michigan , en Ann Arbor . Se especializa en dinámica de fluidos computacional (CFD) , dinámica de fluidos y análisis numérico. Su trabajo más influyente se encuentra en CFD, un campo que ayudó a modernizar a partir de 1970. C. Hirsch (1979) [1] ha realizado una valoración de sus primeros trabajos .

Astrofísico de formación, van Leer hizo contribuciones duraderas a los CFD en su serie de artículos de cinco partes "Hacia el esquema de diferencias conservadoras definitivas (1972-1979)", donde extendió el esquema de volúmenes finitos de Godunov al segundo orden (MUSCL). También en la serie, desarrolló la interpolación no oscilatoria utilizando limitadores, un solucionador de Riemann aproximado y esquemas de Galerkin discontinuos para la advección inestable. Desde que se unió al Departamento de Ingeniería Aeroespacial de la Universidad de Michigan (1986), ha trabajado en la aceleración de la convergencia mediante el preacondicionamiento local y la relajación de redes múltiples para problemas de Euler y Navier-Stokes, redes adaptativas inestables, modelado del entorno espacial, modelado de flujo atmosférico, hidrodinámica extendida para enrarecimiento. flujos y métodos de Galerkin discontinuos. Se jubiló en 2012,obligado a abandonar la investigación debido a la ceguera progresiva.

A lo largo de su carrera, el trabajo de van Leer ha tenido características interdisciplinarias. Partiendo de la astrofísica, primero tuvo un impacto en la investigación de armas, seguido de la aeronáutica, luego el modelado del clima espacial, el modelado atmosférico, el modelado de aguas superficiales y el modelado de motores automotrices, por nombrar los campos más importantes.

Intereses personales

van Leer tocando el piano en Pierpont Commons, Universidad de Michigan

Van Leer también es un músico consumado, toca el piano a la edad de 5 años y compone a los 7. Su educación musical incluye dos años en el Conservatorio Real de Música de La Haya, Holanda. Como pianista, apareció en la edición de invierno de 1996 de Michigan Engineering (Ingeniería y las artes). Como carillonista, ha tocado el carillón del Central Campus Burton Tower en muchos sábados de fútbol. Fue el primer y único CJ (carillón-jockey) del mundo basado en el carillón del North Campus, transmitido en vivo desde la Torre Lurie.

En 1993 ofreció un recital de una hora completa en el carillón del Ayuntamiento de Leiden, la ciudad de su alma mater. A Van Leer le gusta improvisar con el estilo de carillón holandés; una de sus improvisaciones está incluida en un CD de 1998 con los carillones de ambos de la Universidad de Michigan. Su composición de carillón "Lament" se publicó en la serie de música de carillón de la Escuela de Música de la UM con motivo del Congreso Anual del Gremio de Carilloneurs en América del Norte, Ann Arbor, junio de 2002. Una composición para flauta de van Leer se interpretó dos veces en 1997 por el profesor Leone Buyse de la Universidad de Michigan.

Trabajo de investigación

Bram van Leer era un estudiante de doctorado en astrofísica en el Observatorio de Leiden (1966-1970) cuando se interesó en la dinámica de fluidos computacional (CFD) para resolver problemas de flujo cósmico. Su primer resultado importante en CFD [2] fue la formulación de la función de flujo numérico contra el viento para un sistema hiperbólico de leyes de conservación:

Aquí la matriz aparece por primera vez en CFD, definida como la matriz que tiene los mismos autovectores que el flujo jacobiano , pero los autovalores correspondientes son los módulos de los de . El subíndice indica un valor representativo o promedio en el intervalo ; No fue menos de 10 años después antes de que Philip L. Roe presentara por primera vez sus fórmulas de promedios muy utilizadas.

A continuación, van Leer logró eludir el teorema de la barrera de Godunov (es decir, un esquema de advección que preserva la monotonicidad no puede ser mejor que la precisión de primer orden) al limitar el término de segundo orden en el esquema de Lax-Wendroff en función de la falta de uniformidad del esquema de Lax-Wendroff. solución numérica en sí. Esta es una técnica no lineal incluso para una ecuación lineal. Habiendo descubierto este principio básico, planeó una serie de tres artículos titulados "Hacia el último esquema de diferencias conservadoras", que avanzaban desde el escalar no conservador pero no oscilatorio (parte I [3] ) al escalar conservador no oscilatorio (parte II [4] ) al conservador Euler no oscilatorio (parte III [5]). Los esquemas de diferencias finitas para las ecuaciones de Euler resultaron poco atractivos debido a sus muchos términos; un cambio a la formulación de volumen finito aclaró esto completamente y condujo a la Parte IV [6] (escalar de volumen finito) y, finalmente, a la Parte V [7] (Lagrange y Euler de volumen finito) titulada, "Un segundo orden secuela del método de Godunov ", que es su artículo más citado (acercándose a las 6000 citas el 1 de noviembre de 2017). Este artículo [8] se reimprimió en 1997 en la edición del 30 aniversario de la revista Journal Computational Physics con una introducción de Charles Hirsch.

La serie contiene varias técnicas originales que se han abierto camino en la comunidad CFD. En la Parte II se presentan dos limitadores, posteriormente llamados por van Leer "doble minmod" (después del limitador "minmod" de Osher) y su versión suavizada "armónica"; este último limitador a veces se denomina en la literatura "limitador de van Leer". La Parte IV, "Un nuevo enfoque de la convección numérica", describe un grupo de 6 esquemas de segundo y tercer orden que incluyen dos esquemas de Galerkin discontinuos con integración de tiempo exacto. Van Leer no fue el único en romper la barrera de Godunov usando la limitación no lineal; Boris [9] y VP Kolgan, un investigador ruso desconocido en Occidente, desarrollaron técnicas similares de forma independiente . En 2011,van Leer dedicó un artículo a las contribuciones de Kolgan[10] e hizo que el informe TsAGI de Kolgan de 1972 se reimprimiera en traducción en el Journal of Computational Physics.

Después de la publicación de la serie (1972-1979), van Leer pasó dos años en ICASE (NASA LaRC), donde fue contratado por ingenieros de la NASA interesados ​​en su experiencia numérica. Esto llevó a la división de vector de flujo diferenciable de Van Leer [11] y al desarrollo de los códigos CFL2D y CFL3D [12] [13] estructurados en bloques, que todavía se utilizan mucho. Otras contribuciones de estos años son la revisión de los métodos de ceñida con Harten y Lax, [14] el documento del taller de AMS [15] que detalla las diferencias y semejanzas entre los flujos de ceñida y la fórmula de flujo de Jameson, y el documento de la conferencia con Mulder [16]sobre métodos de relajación contra el viento; este último incluye el concepto de Evolución-Relajación Conmutada (SER) para elegir automáticamente el paso de tiempo en un esquema de marcha implícito.

Después de mudarse permanentemente a los EE. UU., El primer artículo influyente de van Leer fue "Una comparación de fórmulas de flujo numérico para las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes, [17] " que analiza las funciones de flujo numérico y su idoneidad para resolver capas límite en los cálculos de Navier-Stokes. . En 1988, se embarcó en un proyecto muy grande, para lograr soluciones de Euler estables en operaciones O (N) mediante una metodología puramente explícita. Esta estrategia tenía tres componentes cruciales: 1. Suavizar de manera óptima los esquemas de cuadrícula única de varias etapas para las advecciones. 2. Acondicionamiento previo local de las ecuaciones de Euler. 3. Relajación de cuadrícula múltiple semirrondeada.

La primera asignatura se desarrolló en colaboración con su estudiante de doctorado, CH Tai. [18] El segundo tema era necesario para hacer que las ecuaciones de Euler parecieran lo más escalares posible. El preacondicionamiento se desarrolló con el estudiante de doctorado W. -T. Sotavento. [19] Para aplicar esto al esquema discreto, se tuvo que hacer una modificación crucial a la discretización original. Resultó que la aplicación del preacondicionamiento a una discretización de Euler requería una reformulación de la función de flujo numérico con el fin de preservar la precisión en números de Mach bajos. El estudiante de doctorado JF Lynn logró combinar los esquemas óptimos de cuadrícula única con la discretización de Euler preacondicionada. [20] D. Lee siguió la misma estrategia para la discretización de Navier-Stokes.[21]

El tercer componente, relajación multirredes semirrueso, fue desarrollado por el ex alumno de van Leer, WA Mulder (Mulder 1989). Esta técnica es necesaria para amortiguar ciertas combinaciones de modos de alta y baja frecuencia cuando la red está alineada con el flujo.

En 1994, van Leer se asoció con Darmofal, un becario postdoctoral en la Universidad de Michigan en ese momento, para terminar el proyecto. El objetivo del proyecto fue alcanzado por primera vez por Darmofal y Siu (Darmofal y Siu 1999), y luego fue realizado de manera más eficiente por van Leer y Nishikawa. [22]

Mientras se desarrollaba el proyecto de múltiples cuadrículas, van Leer trabajó en dos temas más: solucionadores de Riemann multidimensionales, [23] [24] y cuadrícula cartesiana adaptativa dependiente del tiempo. [25] Después de la conclusión del proyecto de redes múltiples, van Leer continuó trabajando en el preacondicionamiento local de las ecuaciones de Navier-Stokes junto con C. Depcik. [26] Se derivó un preacondicionamiento 1-D que es óptimo para todos los números de Mach y Reynolds. Sin embargo, existe un dominio estrecho en el plano (M, Re) donde las ecuaciones preacondicionadas admiten un modo creciente. En la práctica, tal modo, si surgiera, debería ser amortiguado por el esquema de marchas en el tiempo, por ejemplo, un esquema implícito.

En la última década de su carrera, van Leer se dedicó a la hidrodinámica extendida y al método de Galerkin discontinuo. El objetivo del primer proyecto era describir el flujo enrarecido hasta los números intermedios de Knudsen (Kn ~ 1) mediante un sistema de relajación hiperbólica. Esto funciona bien para flujos subsónicos y ondas de choque débiles, pero las ondas de choque más fuertes adquieren la estructura interna incorrecta. [27] [28] Para flujo a baja velocidad, el estudiante de doctorado de van Leer HL Khieu probó la precisión de la formulación de relajación hiperbólica comparando simulaciones con los resultados numéricos de un solucionador cinético completo basado en la ecuación de Boltzmann. [29]Investigaciones recientes han demostrado que un sistema de PDE de segundo orden derivado de los sistemas de relajación hiperbólicos puede tener un éxito total; para obtener más información, consulte Myong Over-reach 2014.

El segundo proyecto fue el desarrollo de métodos Galerkin (DG) discontinuos para operadores de difusión. Comenzó con el descubrimiento del método de recuperación para representar al operador de difusión 1D.

A partir de 2004, la DG basada en la recuperación (RDG) [30] ha demostrado una precisión del orden de 3p + 1 o 3p + 2 para el grado p de espacio polinómico par o impar. Este resultado es válido para cuadrículas cartesianas en 1, 2 o 3 dimensiones, para ecuaciones de difusión lineales y no lineales que pueden contener o no términos de corte. [31] [32] [33] [34] En cuadrículas no estructuradas, se predijo que el RDG alcanzaría el orden de precisión de 2p + 2; Lamentablemente, esta investigación no se completó antes de que van Leer se jubilara.

Los primeros trabajos de Van Leer, especialmente la serie "Hacia el último esquema de diferencias conservadoras", motivado por las necesidades del modelado astrofísico, ha influido en una amplia gama de otras disciplinas; tal transferencia de conocimiento interdisciplinaria no es evidente por sí misma. La mejor manera de exportar ideas científicas de una disciplina a otra es a través del contacto personal. Por ejemplo, la presencia de Van Leer en el Centro de Investigación Langley de la NASA de 1979 a 1981 y luego en los veranos del '81 al '83 llevó al desarrollo del código CFL2D de la NASA y finalmente CFL3D. La transición de ideas entre disciplinas a través de publicaciones es un proceso mucho más lento, ya que la mayoría de los investigadores no leen revistas basadas en campos distintos a su propia experiencia.

Un ejemplo de ello es la forma en que las ideas de Van Leer, contenidas en la serie "Hacia el último esquema de diferencias conservadoras", se abrieron paso en el Modelo de circulación general atmosférica (GCM). Aunque se publicó en el Journal of Computational Physics, que en sus primeros años publicó artículos clave de investigación atmosférica, parece haber pasado desapercibido para la comunidad de GCM. Así, el esquema III de advección DG de segundo orden de Towards IV fue redescubierto por GL Russel y JA Lerner en 1981, [35] mientras que el esquema VI de advección DG de tercer orden fue redescubierto por MJ Prather en 1986. [36] Pero la monotonicidad- En estos trabajos no se incluyeron los limitadores de preservación.

No fue hasta que el científico atmosférico RB Rood [37] del Goddard Space Flight Center de la NASA publicó una revisión exhaustiva de publicaciones sobre esquemas de advección en 1987 que los artículos de Van Leer se desbloquearon para la comunidad GCM. La primera aplicación de un esquema de advección que preserva la monotonicidad al transporte atmosférico se debió a DJ Allen, AR Douglass, RB Rood y PD Guthrie en 1991. [38] Posteriormente, en 1997, Shian-Jiann (SJ) Lin y Rood, [39 ]ambos en NASA Goddard, publicaron una versión predictor-corrector del método Godunov de segundo orden para su uso en dinámica atmosférica y lo implementaron en un modelo de aguas poco profundas. Finalmente, Lin, ahora en el Laboratorio de Dinámica de Fluidos Geofísicos de Princeton (GFDL), puso estas ideas en una descripción atmosférica no hidrostática completa con discretizaciones horizontales eulerianas y verticales lagrangianas, [40] llamado FV3 (Núcleo dinámico de esfera cúbica de volumen finito) . Este núcleo dinámico se ha abierto camino en los principales códigos nacionales de predicción meteorológica y climática. Específicamente, FV3 ha sido elegido como el núcleo dinámico para el proyecto del Sistema de Predicción Global de Próxima Generación (NGGPS), el último Modelo de Sistema Climático Comunitario NCAR CESM4, el modelo NOAA-GFDL CM4.0 y el modelo GEOS5 de la NASA.

Además de la narrativa anterior, enumeramos algunos temas y artículos relacionados con los esfuerzos de investigación interdisciplinarios de van Leer:

  • Dinámica de los gases cósmicos: van Albada, van Leer y Roberts [41]
  • Modelado del entorno espacial - Clauer et al. [42]
  • Modelado atmosférico: Ullrich, Jablonowski, van Leer [43]
  • Modelado de motores automotrices: Depcik, van Leer, Assanis [44]

Tres artículos de revisión importantes de van Leer son:

  • El desarrollo de la aerodinámica y la mecánica de fluidos numéricos desde la década de 1960: Estados Unidos y Canadá [45]
  • Introducción a la dinámica de fluidos computacional [46]
  • B. van Leer, "Métodos de alta resolución y contra el viento para el flujo compresible: de la célula donante a los esquemas de distribución residual", Communications in Computational Physics, Vol.1, págs. 192-205, 2006.

En 2010, van Leer recibió el premio AIAA Fluid Dynamics por su trayectoria. En esta ocasión, van Leer presentó una conferencia plenaria titulada “Historia de CFD Parte II”, que cubre el período de 1970 a 1995. A continuación se muestra el cartel que van Leer y su estudiante de doctorado Lo diseñaron para esta ocasión.

El cuadro es una alegoría sobre la génesis de los CFD modernos en el período 1970-1985, específicamente: el desarrollo de métodos de alta resolución (métodos no oscilatorios de precisión superior al primer orden) y su adopción final por parte de la industria aeroespacial. comunidad. Vemos un paisaje exótico dominado por una gran pirámide. Tres hombres intentan llegar a su cima por diferentes medios: Jay Boris (martillo en cincel), Bram van Leer (cuerda) y Vladimir Kolgan (escalera); la prematura muerte de este último en 1978 lo convirtió en un desconocido incluso en Rusia. Tenga en cuenta que la pirámide es también un delta griego mayúscula gigante, símbolo de la diferencia finita que impregna las ecuaciones de CFD. El guardián de la puerta es John von Neumann, el padre de CFD. De la prehistoria de CFD son los bustos, en el extremo izquierdo, de Richard Courant, Kurt Friedrichs y Hans Lewy, cuyas iniciales conocemos tan bien.En el extremo derecho encontramos, en sillas de playa, Peter Lax y Sergei Godunov, gigantes del análisis numérico de la generación siguiente a Von Neumann. Se relajan mientras una generación más joven lucha por mejorar el estado del arte en CFD. En primer plano, yendo de izquierda a derecha, nos encontramos por primera vez con Bob MacCormack, quien, a fines de la década de 1960, adaptó el método Lax-Wendroff de segundo orden a usos aeronáuticos, pero no pudo controlar sus oscilaciones numéricas. A continuación, Phil Roe, quizás contemplando su solucionador de Riemann aproximado o su limitador Superbee. Más allá de la puerta, Stan Osher y Ami Harten (fallecido en 1994), probablemente discutiendo técnicas de TVD o ENO. Los tres últimos, junto con van Leer, fueron los más influyentes para lograr la aceptación de métodos de alta resolución en la ingeniería aeroespacial; gran parte de la transición tecnológica tuvo lugar en ICASE, NASA LaRC. Por último, si bien no menos importante,en el avión, Antony Jameson, quien siguió su propio camino, desarrollando un conjunto de códigos CFD altamente eficientes para aeronáutica estable.

Educación y entrenamiento

Fuente: https://aero.engin.umich.edu/people/bram-van-leer/

  • 1963 - Candidato a Astronomía, Universidad Estatal de Leiden
  • 1966 - Doctorandus Astrophysics, Leiden State University
  • 1970 - Doctorado. Astrofísica, Universidad Estatal de Leiden, 1970
  • 1970–72 - Miller Fellow Astrophysics, Universidad de California Berkeley

Experiencia profesional

Fuente: https://aero.engin.umich.edu/people/bram-van-leer/

  • 2012 hasta el presente - Arthur B. Modine Profesor emérito, Universidad de Michigan
  • 2007–2012 - Profesor de Ingeniería Arthur B. Modine, Universidad de Michigan
  • 1986–2007 - Profesor de Ingeniería Aeroespacial, Universidad de Michigan
  • 1982–86 - Líder de investigación, Universidad Tecnológica de Delft
  • 1979–81 - Científico visitante, NASA Langley (ICASE)
  • 1978–82 - Líder de investigación, Observatorio de Leiden
  • 1970–72 - Miller Fellow Astrophysics, Universidad de California Berkeley
  • 1966–77 - Investigador asociado, Observatorio de Leiden

Honores y premios

Fuente: https://aero.engin.umich.edu/people/bram-van-leer/

  • 2010 - Premio AIAA de dinámica de fluidos
  • 2007 - Profesor Arthur B. Modine de Ingeniería Aeroespacial
  • 2005–2009 - Miembro principal de la Universidad de Michigan
  • 2005 - Premio al Servicio de Ingeniería Aeroespacial, Univ. de Michigan
  • 2003 - Premio de Mecánica Computacional, Sociedad Japonesa de Ingenieros Mecánicos
  • 1996 - Premio a la Excelencia en Investigación de la Facultad de Ingeniería, Univ. de Michigan
  • 1995 - Becario AIAA
  • 1992 - Premio al Logro del Grupo de Servicio Público, NASA Langley
  • 1992 - Premio de Investigación del Departamento de Ingeniería Aeroespacial, Univ. de Michigan
  • 1990 - Premio al logro grupal, NASA Langley
  • 1990 - Doctorado Honoris Causa, Universidad Libre de Bruselas
  • 1978 - Premio CJ Kok, Universidad de Leiden

Publicaciones recientes

Los siguientes artículos se relacionan con el método de Galerkin discontinuo para ecuaciones de difusión:

  • B. van Leer y S. Nomura, "Discontinuous Galerkin for diffusion", AIAA Paper 2005-5108, 2005.
  • B. van Leer, M. Lo y M. van Raalte, "A Discontinuous Galerkin Method for diffusion based on recovery", documento AIAA 2007-4083, 2007.
  • M. van Raalte y B. van Leer, "Formas bilineales para el método de difusión discontinuo de Galerkin basado en la recuperación", Communications in Computational Physics Vol. 5, págs. 683–693, 2009.
  • B. van Leer y M. Lo, "Unificación de métodos de Galerkin discontinuos para advección y difusión", documento AIAA 2009-0400, 2009.
  • M. Lo y B. van Leer, "Análisis e implementación del método de difusión discontinuo de Galerkin basado en la recuperación", documento AIAA 2009-3786, 2009.
  • Lo, M .; van Leer, B., "Galerkin discontinuo basado en la recuperación para términos viscosos de Navier Stokes", AIAA Paper 2011-3406, 2011.

Ver también

  • Método de volumen finito
  • Limitador de flujo
  • Método de Galerkin discontinuo
  • Ecuación de advección-difusión
  • Solucionador de Riemann
  • Esquema MUSCL
  • Esquema de diferenciación contra el viento
  • Teorema de Godunov
  • Sergei K. Godunov

Referencias

  1. ^ Hirsch, cap. (1997). "Introducción a" Hacia el último esquema de diferencias conservadoras. V. Una secuela de segundo orden del método de Godunov " ". Revista de Física Computacional . 135 (2): 227–228. doi : 10.1006 / jcph.1997.5757 .
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  3. ^ B. van Leer. Hacia el último esquema conservador de diferencias I. La búsqueda de la monotonicidad. En Lecture Notes in Physics. Actas de la Tercera Conferencia Internacional sobre Métodos Numéricos en Mecánica de Fluidos, páginas 163–168. Springer, 1973.
  4. ^ Van Leer, Bram (1974). "Hacia el último esquema de diferencias conservadoras. II. Monotonicidad y conservación combinadas en un esquema de segundo orden". Revista de Física Computacional . 14 (4): 361–370. Código Bibliográfico : 1974JCoPh..14..361V . doi : 10.1016 / 0021-9991 (74) 90019-9 .
  5. ^ Van Leer, Bram (1977). "Hacia el último esquema de diferencias conservadoras III. Esquemas de diferencias finitas centrados en sentido ascendente para un flujo compresible ideal". Revista de Física Computacional . 23 (3): 263–275. Código Bibliográfico : 1977JCoPh..23..263V . doi : 10.1016 / 0021-9991 (77) 90094-8 .
  6. ^ Van Leer, Bram (1977). "Hacia el último esquema de diferencia conservadora. IV. Un nuevo enfoque de la convección numérica". Revista de Física Computacional . 23 (3): 276–299. doi : 10.1016 / 0021-9991 (77) 90095-X .
  7. ^ Van Leer, Bram (1979). "Hacia el último esquema de diferencia conservadora. V. Una secuela de segundo orden del método de Godunov". Revista de Física Computacional . 32 : 101-136. Código bibliográfico : 1979JCoPh..32..101V . doi : 10.1016 / 0021-9991 (79) 90145-1 .
  8. ^ Van Leer, Bram (1997). "Hacia el último esquema de diferencia conservadora". Revista de Física Computacional . 135 (2): 229–248. doi : 10.1006 / jcph.1997.5704 .
  9. ^ Boris, Jay P .; Libro, David L. (1973), "Transporte con corrección de flujo. I. SHASTA, Un algoritmo de transporte de fluidos que funciona", Journal of Computational Physics , 11.1 (1): 38-69, Bibcode : 1973JCoPh..11 ... 38B , doi : 10.1016 / 0021-9991 (73) 90147-2
  10. ^ van Leer, B. (2011), "Un descuido histórico: Vladimir P. Kolgan y su esquema de alta resolución", Journal of Computational Physics , 230.7 (7): 2378-2383, Bibcode : 2011JCoPh.230.2378V , doi : 10.1016 / j.jcp.2010.12.032
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  13. ^ Thomas, JL; Walters, RW; Van Leer, B .; Anderson, WK (1985), "Esquemas implícitos de división de flujo para las ecuaciones de Euler", AIAA Paper , 85 : 1680
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  15. ↑ van Leer, Bram (1985). "Métodos de diferencia a barlovento para problemas aerodinámicos regidos por las ecuaciones de Euler". En Engquist, Bjorn E .; Osher, Stanley; Somerville, Richard C. J (eds.). Cálculos a gran escala en mecánica de fluidos, parte 2 . Conferencias de Matemática Aplicada. págs. 327–336.
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enlaces externos

  • Página web del Departamento de Ingeniería Aeroespacial de la Universidad de Michigan
  • Bram van Leer en el Proyecto de genealogía matemática
  • Puerta de la investigación
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