El teorema de la envoltura de sociedades para poblaciones dependientes de recursos , también llamado teorema de Bruss-Duerinckx , es un resultado matemático sobre el comportamiento de las poblaciones que eligen su forma de sociedad de acuerdo con solo dos hipótesis, a saber, las que se consideran más "naturales". ":
- Hipótesis 1 (H1): los individuos quieren sobrevivir y ver un futuro para sus descendientes,
- Hipótesis 2 (H2): El individuo promedio prefiere un nivel de vida más alto a uno más bajo,
donde se supone que H1 precede a H2 en el caso de incompatibilidad de H1 con H2.
Aquí, las poblaciones con una estructura de sociedad se modelan mediante los denominados procesos de ramificación dependientes de recursos (RDBP). El objetivo de los RDBP es modelar diferentes estructuras sociales y comparar las ventajas y desventajas de diferentes sociedades, con el foco puesto en las sociedades humanas. Un RDBP es un proceso de ramificación de tiempo discreto (BP) en el que se supone que los individuos deben trabajar para poder vivir y reproducirse. La población decide la forma de sociedad actual mediante una política, es decir, una prescripción de reglas sobre cómo se distribuirán los recursos disponibles entre los individuos. Las políticas pueden cambiar a lo largo de las generaciones por la interacción de los individuos.
Adaptando el modelo a la realidad
Para modelar una sociedad humana, un RDBP incorpora una parte de un estado inicial (número de antepasados en el momento 0) demandas individuales de recursos (nivel de vida), creación (producción) de nuevos recursos para la próxima generación (incluido el no consumo y patrimonio de recursos), una política de distribución de recursos y una opción de control para los individuos que interactúan con la sociedad. Por simplicidad, la reproducción en un RDBP se modela como asexual, pero la opción de reemplazar la tasa de reproducción media por la llamada tasa de reproducción promedio de las unidades de apareamiento (ver procesos de Galton-Watson y ref. 1984) permite mostrar que la tasa principal los resultados que se dan a continuación no se ven afectados por esta simplificación.
Formalmente, un RDBP es un proceso estocástico Γ definido en los enteros no negativos que es un BP definido por
- un estado inicial Γ 0 ;
- una ley de reproducción de individuos (asexual);
- una ley de creación individual de recursos;
- una ley de demandas de recursos individuales (reclamos);
- una política para distribuir los recursos disponibles a las personas que están presentes en la población
- una herramienta de interacción entre los individuos y la sociedad.
RDBP manejables
Los modelos para el desarrollo de una sociedad humana en el tiempo deben permitir la interdependencia entre los diferentes componentes. En general, estos modelos son muy complicados. Crucial en el desarrollo de los resultados fue la idea de no intentar modelar el desarrollo de una sociedad con un (único) RDBP realista sino mediante una secuencia de RDBPs respetando H1 y H2, es decir mediante acciones de control definiendo en cada momento de control un RDBP relevante a corto plazo. Por lo tanto, los RDBP sirven como modelos definidos localmente para el comportamiento a corto plazo de una sociedad, mientras que la evolución de una sociedad se ve como una secuencia de RDBP controlados por la interacción de los individuos. La herramienta de interacción para los individuos dentro de cada generación es la opción de emigrar antes de la reproducción (engendrar hijos) si sus demandas de recursos individuales no son satisfechas por la forma de sociedad actual. Aquí la emigración puede ser reemplazada por otras opciones de protesta.
Políticas especiales
Resulta que dos políticas especiales se destacan como pautas para el desarrollo de cualquier sociedad. Se trata de la denominada política más débil primero (wf-policy) y la denominada política más fuerte primero (sf-policy) definida en el proceso de ramificación dependiente de los recursos . Se puede argumentar que la sociedad wf comparte características importantes de una forma extrema de comunismo, mientras que la sociedad sf puede interpretarse de manera similar como una forma extrema de capitalismo .
Dejar:
- m = reproducción media (descendientes) por individuo
- r = producción media (creación de recursos) por individuo
- F = la distribución de probabilidad individual de las reclamaciones (recursos)
Luego, utilizando el resultado del comportamiento de los tiempos de parada de las sumas de estadísticas de orden (ref. 1991) los criterios de supervivencia se pueden calcular de manera explícita, tanto para el WF-sociedad y el SF-sociedad en función de m , R y F .
Resultado principal
El teorema del envolvimiento de sociedades dice:
- A la larga, cualquier sociedad está destinada a vivir entre la sociedad wf y la sociedad sf.
- Las dos sociedades extremas son atractivas por un lado pero repulsivas por el otro:
- La sociedad wf hace todo por la Hipótesis 1 pero nada por la Hipótesis 2. Tiene una mayor probabilidad de supervivencia que cualquier otra sociedad, pero también el estándar de vida promedio más pequeño para los individuos.
- La sociedad sf hace todo por la Hipótesis 2 pero nada por la Hipótesis 1. Tiene el estándar de vida promedio más alto para los individuos en comparación con cualquier otra sociedad, pero (al menos desde un tamaño inicial suficientemente grande en adelante) la menor posibilidad de supervivencia.
- Cualquiera que sea la sociedad, con reglas fijas o reglas flexibles, no puede escapar a la larga a la envoltura definida por la sociedad wf y la sociedad sf.
Observación sobre la prueba
La intuición de por qué el teorema anterior debería ser cierto es solo parcialmente cierto y, a veces, completamente erróneo (contraejemplos explícitos). Es por eso que este resultado ha atraído mucha atención. La demostración matemática no utiliza nuevos métodos matemáticos, pero es sutil. Aparte de un resultado clásico sobre la llamada convergencia completa, se basa principalmente en teoremas para tiempos de parada en sumas de estadísticas de orden independientes e idénticamente distribuidas (ref.1991) y actos de equilibrio ajustados entre los supuestos del modelo y la convergencia en probabilidad y casi convergencia segura.
Impacto
El teorema permite varias conclusiones, pero la más desafiante es posiblemente la siguiente. Si uno ve los RDBP con las dos hipótesis naturales como un modelo aceptable, entonces la política de wf y la política de sf (posiblemente vista como una forma idealizada o forma extrema de comunismo y (una forma extrema de) capitalismo , respectivamente) juegan a la vez un papel particular. Ambos son, y siempre serán, pautas para cualquier sociedad humana que siga las hipótesis naturales. No pueden ser sociedades estables: el comunismo extremo no puede ser estable porque a los individuos les gustaría ir hacia un nivel de vida elevado, es decir, hacia H2. El capitalismo extremo no puede ser estable porque, a menos que los recursos sean más que abundantes, se extinguiría o sería superado rápidamente en número por sociedades competidoras que se precipitarían al vacío.
Sin embargo, ambos forman a largo plazo (en términos de la eficacia de las poblaciones) una envoltura de cualquier sociedad, por muy sofisticada que sea su política.
Referencias
- Wajnberg, Alexandre (2014). "Théorème de Bruss-Duerinckx ou l'enveloppement des sociétés humaines". FNRS-News (Fond National de la recherche scientifique) . 2014-06: 20-22.
- Bruss, F. Thomas (1984). "Una nota sobre los criterios de extinción para los procesos bisexuales de Galton-Watson". Revista de probabilidad aplicada . 21 : 915–919. doi : 10.2307 / 3213707 .
- Bruss, F. Thomas; Robertson, James B. (1991). "Lema de Wald para la suma de las estadísticas de orden de las variables aleatorias iid". Avances en probabilidad aplicada . 23 : 612–623. doi : 10.2307 / 1427625 .
- Bruss, F. Thomas; Duerinckx, Mitia (2015). "Los procesos de ramificación dependientes de los recursos y la envoltura de las sociedades" . Anales de probabilidad aplicada . 25 : 324–372. arXiv : 1212.0693 . doi : 10.1214 / 13-aap998 .