Un proceso de ramificación (BP) (véase, por ejemplo, Jagers (1975)) es un modelo matemático para describir el desarrollo de una población. Aquí se entiende población en un sentido general, incluyendo una población humana, poblaciones animales, bacterias y otras que se reproducen en un sentido biológico, proceso en cascada, o partículas que se dividen en un sentido físico, y otros. Los miembros de una población de BP se denominan individuos o partículas.
Si los tiempos de reproducciones son discretos (generalmente denotado por 1,2, ...), entonces la totalidad de los individuos presente en el tiempo n y viviendo en cuando n 1 excluidos son considerados como formando el n º generación. BPs simples se definen por un estado inicial (número de individuos en el tiempo 0) y una ley de la reproducción, por lo general denotada por p k , k = 1,2, ... .
Un proceso de ramificación dependiente de recursos (RDBP) es un BP en tiempo discreto que modela el desarrollo de una población en la que se supone que los individuos deben trabajar para poder vivir y reproducirse. La población decide una forma de sociedad que determina las reglas sobre cómo se distribuyen los recursos disponibles entre los individuos. Para este propósito, un RDBP debe incorporar al menos cuatro componentes adicionales del modelo, a saber, las demandas individuales de recursos, la creación de nuevos recursos para la próxima generación, la noción de una política para distribuir recursos y una opción de control de las interacciones con los individuos. sociedad.
Definición
Un proceso de ramificación dependiente de recursos (en tiempo discreto) es un proceso estocástico Γ definido en los enteros no negativos que es un BP definido por
- un estado inicial Γ 0 ;
- una ley de reproducción de individuos;
- una ley de creación individual de recursos;
- una ley de demandas de recursos individuales (reclamos);
- una política para distribuir los recursos disponibles a las personas que están presentes en la población
- una herramienta de interacción entre los individuos y la sociedad.
Historia y objetivos de los RDBP
Los RDBP pueden verse (en un sentido más amplio) como los denominados procesos de ramificación controlados controlados. Fueron introducidos por F. Thomas Bruss (1983)) con el objetivo de modelar diferentes estructuras sociales y comparar las ventajas y desventajas de diferentes formas de sociedades humanas. En estos procesos, los individuos tienen un medio de interacción con la sociedad que determina las reglas de cómo deben distribuirse entre ellos los recursos disponibles en la actualidad. Esta interacción (por ejemplo, en forma de emigración) cambia la tasa efectiva de reproducción de los individuos que permanecen en la sociedad. En ese sentido, los RDBP tienen algunas partes en común con los llamados BP dependientes del tamaño de la población (ver Klebaner (1984) y Klebaner & Jagers (2000)) en los que la ley de la reproducción individual independiente (ver el proceso de Galton-Watson ) es una función. del tamaño actual de la población.
RDBP manejables
Los modelos realistas para las sociedades humanas piden un modo de reproducción bisexual, mientras que en la definición de un RDBP se habla simplemente de una ley de reproducción. Sin embargo, la noción de una tasa de reproducción promedio por individuo (Bruss 1984) para los procesos bisexuales muestra que para todas las preguntas relevantes para el comportamiento a largo plazo de las sociedades humanas, está justificado por simplicidad asumir la reproducción asexual. Ésta es la razón por la que ciertos resultados limitantes de Klebaner (1984) y Jagers & Klebaner (2000) se refieren a los RDBP. Los modelos para el desarrollo de una sociedad humana en el tiempo deben permitir la interdependencia entre los diferentes componentes. En general, estos modelos son muy complicados y corren el riesgo de volverse intratables. Esto llevó a la idea de no intentar modelar el desarrollo de una sociedad con un RDBP (único) realista, sino mediante una secuencia de acciones de control que definen una secuencia de RDBP relevantes de horizonte corto.
Dos políticas especiales se destacan como pautas para el desarrollo de cualquier sociedad. Las dos políticas son la llamada política más débil primero (wf-policy) y la llamada política más fuerte primero (sf-policy).
Definición
La póliza-wf es la regla a servir en cada generación, siempre que el espacio de recursos acumulados lo permita, con prioridad siempre a los individuos con menores reclamos individuales. La política sf es la regla para atender en cada generación siempre con prioridad los reclamos de recursos individuales más grandes, siempre que el espacio de recursos acumulados sea suficiente. Las sociedades que adaptan estas políticas estrictamente se denominan wf-society, respectivamente, sf-society.
Criterios de supervivencia
En la teoría de los BP es de interés saber si es posible la supervivencia de un proceso a largo plazo. Para los RDBP, esta cuestión también depende en gran medida de una característica en la que los individuos tienen una gran influencia, a saber, la política de distribución de recursos.
Dejar:
- m = reproducción media (descendientes) por individuo
- r = producción media (creación de recursos) por individuo
- F = la distribución de probabilidad individual de las reclamaciones (recursos)
Supongamos además que todos los individuos que no obtendrán su reclamo de recursos morirán o emigrarán antes de la reproducción. Luego, utilizando los resultados de los tiempos de parada previstos para sumas de estadísticas de orden (1991) los criterios de supervivencia se pueden calcular de manera explícita, tanto para el wf-sociedad y el SF-sociedad como una función de m , r y F .
El resultado posiblemente más fuerte conocido para los RDBP es el teorema del envolvimiento de las sociedades (Bruss y Duerinckx 2015). Dice que, a largo plazo, cualquier sociedad que quisiera sobrevivir y en la que los individuos prefieran en general un nivel de vida más alto a uno más bajo está destinada a vivir a largo plazo entre la sociedad wf y la sociedad sf. . La intuición de por qué esto debería ser cierto es incorrecta. La demostración matemática depende de los resultados mencionados sobre tiempos de parada esperados para sumas de estadísticas de orden (1991) y actos de equilibrio entre los supuestos del modelo y las diferentes nociones de convergencia de variables aleatorias .
Ver también
- Proceso de ramificación controlado
- Proceso bisexual Galton-Watson
- Teorema de Bruss-Duerinckx
Referencias
- Jagers, Peter (1975). Procesos de ramificación con aplicaciones biológicas . Londres: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons].
- Bruss, F. Thomas (1983). "Procesos de ramificación dependientes de recursos". Procesos estocásticos y sus aplicaciones . 16 : 36. CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Bruss, F. Thomas (1984). "Una nota sobre los criterios de extinción para los procesos bisexuales de Galton-Watson". Revista de probabilidad aplicada . 21 : 915–919. doi : 10.2307 / 3213707 .
- Klebaner, Fima C. (1984). "Sobre los procesos de ramificación dependientes del tamaño de la población". Avances en probabilidad aplicada . 16 : 30–55. doi : 10.2307 / 1427223 .
- Bruss, F. Thomas; Robertson, James (1991). "Lema de Wald para la suma de las estadísticas de orden de las variables aleatorias iid". Avances en probabilidad aplicada . 23 : 612–623. doi : 10.2307 / 1427625 .
- Jagers, Peter; Klebaner, Fima C. (2000). "Procesos de ramificación dependientes del tamaño de la población y dependientes de la edad". Procesos estocásticos y sus aplicaciones . 87 : 235-254. doi : 10.1016 / s0304-4149 (99) 00111-8 .
- Bruss, F. Thomas; Duerinckx, Mitia (2015). "Los procesos de ramificación dependientes de los recursos y la envoltura de las sociedades" . Anales de probabilidad aplicada . 25 : 324–372. arXiv : 1212.0693 . doi : 10.1214 / 13-aap998 .