Teorema de bussgang

En matemáticas , el teorema de Bussgang es un teorema de análisis estocástico . El teorema establece que la correlación cruzada de una señal gaussiana antes y después de que haya pasado por una operación no lineal es igual a una constante. Fue publicado por primera vez por Julian J. Bussgang en 1952 mientras estaba en el Instituto de Tecnología de Massachusetts . ^[1]

Sea un proceso aleatorio gaussiano estacionario de media cero y donde es una distorsión de amplitud no lineal. ${\ Displaystyle \ left \ {X (t) \ right \}}$ ${\ Displaystyle \ left \ {Y (t) \ right \} = g (X (t))}$ ${\ Displaystyle g (\ cdot)}$

Si es la función de autocorrelación de , entonces la función de correlación cruzada de y es ${\ Displaystyle R_ {X} (\ tau)}$ ${\ Displaystyle \ left \ {X (t) \ right \}}$ ${\ Displaystyle \ left \ {X (t) \ right \}}$ ${\ Displaystyle \ left \ {Y (t) \ right \}}$

donde es una constante que depende solo de . ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle g (\ cdot)}$

Es una propiedad de la distribución normal bidimensional que la densidad conjunta de y depende solo de su covarianza y viene dada explícitamente por la expresión ${\ Displaystyle y_ {1}}$ ${\ Displaystyle y_ {2}}$

donde y son variables aleatorias gaussianas estándar con correlación . ${\ Displaystyle y_ {1}}$ ${\ Displaystyle y_ {2}}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {y_ {1} y_ {2}} = \ rho}$