En lógica matemática , especialmente en la teoría de conjuntos y la teoría de modelos , el método de ida y vuelta es un método para mostrar el isomorfismo entre estructuras numerables infinitas que satisfacen condiciones específicas. En particular, se puede utilizar para demostrar que
Como ejemplo, el método de ida y vuelta se puede usar para probar el teorema del isomorfismo de Cantor , aunque esta no era la prueba original de Georg Cantor . Este teorema establece que dos órdenes lineales densos contables ilimitados son isomorfos. [1]
Ahora construimos una correspondencia uno a uno entre A y B que es estrictamente creciente. Inicialmente, ningún miembro de A está emparejado con ningún miembro de B.
Aún debe verificarse que la elección requerida en los pasos (1) y (2) se pueda realizar de acuerdo con los requisitos. Usando el paso (1) como ejemplo:
Si ya hay un p y un q en A correspondientes a b p y b q en B respectivamente tales que a p < a i < a q y b p < b q , elegimos b j entre b p y b q usando densidad. De lo contrario, elegimos un elemento grande o pequeño adecuado de B usando el hecho de que Bno tiene ni máximo ni mínimo. Las elecciones hechas en el paso (2) son doblemente posibles. Finalmente, la construcción termina después de muchos pasos contables porque A y B son infinitos contables. Tenga en cuenta que tuvimos que usar todos los requisitos previos.
Mientras que el teorema de los conjuntos contables densamente ordenados se debe a Cantor (1895), el método de ida y vuelta con el que ahora se demuestra fue desarrollado por Edward Vermilye Huntington (1904) y Felix Hausdorff (1914). Más tarde se aplicó en otras situaciones, sobre todo por Roland Fraïssé en la teoría de modelos .