En estadística , el límite de Chapman-Robbins o el límite de Hammersley-Chapman-Robbins es un límite inferior en la varianza de los estimadores de un parámetro determinista. Es una generalización del límite Cramér-Rao ; en comparación con el límite de Cramér-Rao, es más estricto y aplicable a una gama más amplia de problemas. Sin embargo, suele ser más difícil de calcular.
El límite fue descubierto independientemente por John Hammersley en 1950, [1] y por Douglas Chapman y Herbert Robbins en 1951. [2]
Declaración
Sea θ ∈ R n un parámetro determinista desconocido, y sea X ∈ R k una variable aleatoria, interpretada como una medida de θ . Suponga que la función de densidad de probabilidad de X está dada por p ( x ; θ ). Se supone que p ( x ; θ ) está bien definido y que p ( x ; θ )> 0 para todos los valores de x y θ .
Suponga que δ ( X ) es una estimación insesgada de una función escalar arbitraria g : R n → R de θ , es decir,
El enlace Chapman-Robbins luego establece que
Tenga en cuenta que el denominador en el límite inferior de arriba es exactamente el -divergencia de con respecto a .
Relación con el límite de Cramér-Rao
La expresión dentro del supremum en el límite de Chapman-Robbins converge al límite de Cramér-Rao cuando Δ → 0 , asumiendo las condiciones de regularidad del límite de Cramér-Rao. Esto implica que, cuando existen ambos límites, la versión de Chapman-Robbins siempre es al menos tan ajustada como la de Cramér-Rao; en muchos casos, es sustancialmente más estricto.
El límite de Chapman-Robbins también se mantiene en condiciones de regularidad mucho más débiles. Por ejemplo, no se hace ninguna suposición con respecto a la diferenciabilidad de la función de densidad de probabilidad p ( x ; θ ). Cuando p ( x ; θ ) no es diferenciable, la información de Fisher no está definida y, por lo tanto, el límite Cramér-Rao no existe.
Ver también
Referencias
- ^ Hammersley, JM (1950), "Sobre la estimación de parámetros restringidos", Revista de la Royal Statistical Society , Serie B , 12 (2): 192-240, JSTOR 2983981 , MR 0040631
- ^ Chapman, DG; Robbins, H. (1951), "Estimación de varianza mínima sin supuestos de regularidad", Annals of Mathematical Statistics , 22 (4): 581–586, doi : 10.1214 / aoms / 1177729548 , JSTOR 2236927 , MR 0044084
Otras lecturas
- Lehmann, EL; Casella, G. (1998), Teoría de la estimación puntual (2ª ed.), Springer, págs. 113-114, ISBN 0-387-98502-6