En análisis numérico , el algoritmo de Clenshaw , también llamado suma de Clenshaw , es un método recursivo para evaluar una combinación lineal de polinomios de Chebyshev . [1] [2] Es una generalización del método de Horner para evaluar una combinación lineal de monomios .
Se generaliza a más que solo polinomios de Chebyshev; se aplica a cualquier clase de funciones que pueda definirse mediante una relación de recurrencia de tres términos . [3]
En total generalidad, el algoritmo de Clenshaw calcula la suma ponderada de una serie finita de funciones :
dónde es una secuencia de funciones que satisfacen la relación de recurrencia lineal
donde los coeficientes y se conocen de antemano.
El algoritmo es más útil cuando son funciones que son complicadas de calcular directamente, pero y son particularmente simples. En las aplicaciones más comunes, no depende de , y es una constante que no depende de ninguno ni .
Para realizar la suma de series de coeficientes dadas , calcula los valores por la fórmula de recurrencia "inversa":
Tenga en cuenta que este cálculo no hace referencia directa a las funciones . Después de la computación y , la suma deseada se puede expresar en términos de ellos y las funciones más simples y :
Consulte Fox y Parker [4] para obtener más información y análisis de estabilidad.
Horner como un caso especial de Clenshaw
Un caso particularmente simple ocurre cuando se evalúa un polinomio de la forma
- .
Las funciones son simplemente
y son producidos por los coeficientes de recurrencia y .
En este caso, la fórmula de recurrencia para calcular la suma es
y, en este caso, la suma es simplemente
- ,
que es exactamente el método habitual de Horner .
Caso especial para la serie Chebyshev
Considere una serie de Chebyshev truncada
Los coeficientes en la relación de recursividad para los polinomios de Chebyshev son
con las condiciones iniciales
Por tanto, la recurrencia es
y la suma final es
Una forma de evaluar esto es continuar la recurrencia un paso más y calcular
(tenga en cuenta el doble un 0 coeficiente) seguido de
Longitud del arco meridiano en el elipsoide
La suma de Clenshaw se utiliza ampliamente en aplicaciones geodésicas . [2] Una aplicación simple es sumar la serie trigonométrica para calcular la distancia del arco meridiano en la superficie de un elipsoide. Estos tienen la forma
Dejando la inicial término, el resto es una suma de la forma apropiada. No hay un término principal porque.
La relación de recurrencia para es
- ,
haciendo los coeficientes en la relación de recursividad
y la evaluación de la serie viene dada por
El paso final se hace particularmente simple porque , por lo que el final de la recurrencia es simplemente ; la el término se agrega por separado:
Tenga en cuenta que el algoritmo requiere solo la evaluación de dos cantidades trigonométricas y .
Diferencia en longitudes de arco de meridiano
A veces es necesario calcular la diferencia de dos arcos meridianos de manera que se mantenga una alta precisión relativa. Esto se logra mediante el uso de identidades trigonométricas para escribir
La suma de Clenshaw se puede aplicar en este caso [5] siempre que calculemos simultáneamente y realizar una suma de matrices,
dónde
El primer elemento de es el valor medio de y el segundo elemento es la pendiente media. satisface la relación de recurrencia
dónde
toma el lugar de en la relación de recurrencia, y . El algoritmo estándar de Clenshaw ahora se puede aplicar para obtener
dónde son matrices de 2 × 2. Finalmente tenemos
Esta técnica se puede utilizar en el límite y para calcular simultáneamente y la derivada , siempre que, al evaluar y , nosotros tomamos .