Lista de transformaciones de coordenadas comunes

Usando números complejos , la transformación se puede escribir como ${\ estilo de visualización (x, y) = x + iy'}$

Nota: resolver para devuelve el ángulo resultante en el primer cuadrante ( ). Para encontrar , uno debe referirse a la coordenada cartesiana original, determinar el cuadrante en el que se encuentra (por ejemplo, (3,−3) [cartesiano] se encuentra en QIV), luego usar lo siguiente para resolver : ${\ estilo de visualización \ theta '}$ ${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ${\ estilo de visualización \ theta}$ ${\ estilo de visualización \ theta}$ ${\ estilo de visualización \ theta}$

El valor de debe resolverse de esta manera porque para todos los valores de , solo está definido para y es periódico (con punto ). Esto significa que la función inversa solo dará valores en el dominio de la función, pero restringida a un solo período. Por lo tanto, el rango de la función inversa es solo la mitad de un círculo completo. ${\ estilo de visualización \ theta}$ ${\ estilo de visualización \ theta}$ ${\ estilo de visualización \ bronceado \ theta}$ ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <+{\frac {\pi }{2}}}$ $\pi$

Sean (x, y, z) las coordenadas cartesianas estándar y (ρ, θ, φ) las coordenadas esféricas , siendo θ el ángulo medido desde el eje +Z (como [1] , consulte las convenciones en coordenadas esféricas ). Como φ tiene un rango de 360°, se aplican las mismas consideraciones que en las coordenadas polares (bidimensionales) siempre que se tome un arcotangente. θ tiene un rango de 180°, que va de 0° a 180°, y no plantea ningún problema cuando se calcula a partir de un arcocoseno, pero cuidado con un arcotangente.

Si, en la definición alternativa, se elige que θ vaya de −90° a +90°, en dirección opuesta a la definición anterior, se puede encontrar únicamente a partir de un arcoseno, pero tenga cuidado con un arcocotangente. En este caso, en todas las fórmulas a continuación, todos los argumentos en θ deben tener el seno y el coseno intercambiados, y como derivada también un más y un menos intercambiados.

Todas las divisiones por cero dan como resultado casos especiales de direcciones a lo largo de uno de los ejes principales y, en la práctica, se resuelven más fácilmente mediante la observación.