Grupo Cremona

En geometría algebraica , el grupo de Cremona , introducido por Cremona ( 1863 , 1865 ), es el grupo de automorfismos biracionales del espacio proyectivo -dimensional sobre un campo . Se denota por o o . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle Cr (\ mathbb {P} ^ {n} (k))}$ ${\ Displaystyle Bir (\ mathbb {P} ^ {n} (k))}$ ${\ Displaystyle Cr_ {n} (k)}$

El grupo de Cremona se identifica naturalmente con el grupo de automorfismos del campo de las funciones racionales en sobre indeterminado , es decir, una extensión trascendental pura de , con grado de trascendencia . ${\ Displaystyle \ mathrm {Aut} _ {k} (k (x_ {1}, ..., x_ {n}))}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle n}$

El grupo de orden lineal general proyectivo , de transformaciones proyectivas , está contenido en el grupo de orden de Cremona . Los dos son iguales solo cuando o , en cuyo caso tanto el numerador como el denominador de una transformación deben ser lineales. ${\ Displaystyle n + 1}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n = 0}$ ${\ Displaystyle n = 1}$

En dos dimensiones, Max Noether y Castelnuovo demostraron que el grupo de Cremona complejo es generado por la transformación cuadrática estándar, junto con , aunque hubo cierta controversia acerca de si sus demostraciones eran correctas, y Gizatullin (1983) dio un conjunto completo de relaciones para estas generadores. La estructura de este grupo aún no se comprende bien, aunque se ha trabajado mucho para encontrar elementos o subgrupos del mismo. ${\ Displaystyle \ mathrm {PGL} (3, k)}$

Se sabe poco sobre la estructura del grupo Cremona en tres dimensiones y superiores, aunque se han descrito muchos elementos del mismo. Blanc (2010) mostró que está (linealmente) conectado, respondiendo a una pregunta de Serre (2010) . No existe un análogo fácil del teorema de Noether-Castelnouvo, ya que Hudson (1927) demostró que el grupo de Cremona en la dimensión al menos 3 no es generado por sus elementos de grado acotados por ningún entero fijo.