Proceso cicloestacionario

Un proceso cicloestacionario es una señal que tiene propiedades estadísticas que varían cíclicamente con el tiempo. ^[1] Un proceso cicloestacionario puede verse como múltiples procesos estacionarios intercalados . Por ejemplo, la temperatura máxima diaria en la ciudad de Nueva York se puede modelar como un proceso cicloestacionario: la temperatura máxima el 21 de julio es estadísticamente diferente de la temperatura el 20 de diciembre; sin embargo, es una aproximación razonable que la temperatura del 20 de diciembre de diferentes años tenga estadísticas idénticas. Así, podemos ver el proceso aleatorio compuesto por temperaturas máximas diarias como 365 procesos estacionarios intercalados, cada uno de los cuales adquiere un nuevo valor una vez al año.

Hay dos enfoques diferentes para el tratamiento de los procesos cicloestacionarios. ^[2] El enfoque probabilístico consiste en ver las mediciones como una instancia de un proceso estocástico . Como alternativa, el enfoque determinista es ver las mediciones como una única serie de tiempo., a partir de la cual se puede definir una distribución de probabilidad para algún evento asociado con la serie de tiempo como la fracción de tiempo en que ocurre el evento durante la vida de la serie de tiempo. En ambos enfoques, se dice que el proceso o la serie de tiempo es cicloestacionario si y solo si sus distribuciones de probabilidad asociadas varían periódicamente con el tiempo. Sin embargo, en el enfoque determinista de series de tiempo, hay una definición alternativa pero equivalente: una serie de tiempo que no contiene componentes aditivos de onda sinusoidal de fuerza finita exhibe ciclostacionalidad si y solo si existe alguna transformación no lineal invariante en el tiempo de la serie de tiempo que produce componentes de onda sinusoidal aditiva de fuerza positiva.

Un caso especial importante de señales cicloestacionarias es el que exhibe ciclosestacionaria en las estadísticas de segundo orden (por ejemplo, la función de autocorrelación ). Estas se denominan señales cicloestacionarias de sentido amplio y son análogas a los procesos estacionarios de sentido amplio . La definición exacta difiere dependiendo de si la señal se trata como un proceso estocástico o como una serie temporal determinista.

Un proceso estocástico de media y función de autocorrelación: ${\ Displaystyle x (t)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {E} [x (t)]}$

donde la estrella denota conjugación compleja , se dice que es cicloestacionario de sentido amplio con punto si ambos y son cíclicos con punto, es decir: ^[2] ${\ Displaystyle T_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {E} [x (t)]}$ ${\ Displaystyle R_ {x} (t, \ tau)}$ ${\ Displaystyle t}$ ${\ Displaystyle T_ {0},}$

donde se llama función de autocorrelación cíclica y es igual a: ${\ Displaystyle R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau)}$