En matemáticas , específicamente en el área de aproximación diofántica , el teorema de Davenport-Schmidt nos dice qué tan bien un cierto tipo de número real puede aproximarse a otro tipo. Específicamente, nos dice que podemos obtener una buena aproximación a los números irracionales que no son cuadráticos utilizando números irracionales cuadráticos o simplemente números racionales . Lleva el nombre de Harold Davenport y Wolfgang M. Schmidt .
Declaración
Dado un número α que es racional o cuadrático irracional, podemos encontrar enteros únicos x , y , z tales que x , y , z no son todos cero, el primero distinto de cero entre ellos es positivo, son relativamente primo, y tenemos
Si α es un irracional cuadrático podemos tomar x , y , y z que son los coeficientes de su polinomio mínimo . Si α es racional tendremos x = 0. Con estos números enteros determinados unívocamente para cada uno de estos α podemos definir la altura de α como
El teorema entonces dice que para cualquier número real ξ que no sea ni racional ni cuadrático irracional, podemos encontrar infinitos números reales α que sean racionales o cuadráticos irracionales y que satisfagan
donde C es cualquier número real que satisfaga C > 160/9. [1]
Si bien el teorema está relacionado con el teorema de Roth , su uso real radica en el hecho de que es efectivo , en el sentido de que la constante C puede calcularse para cualquier ξ dado.
Notas
- ^ H. Davenport, Wolfgang M. Schmidt, " Aproximación a números reales por irracionales cuadráticos ", Acta Arithmetica 13 , (1967).
Referencias
- Wolfgang M. Schmidt . Aproximación diofántica . Notas de clase en matemáticas 785. Springer. (1980 [1996 con correcciones menores])
- Wolfgang M. Schmidt. Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas , Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000