Degeneración (geometría algebraica)

---

En geometría algebraica, una degeneración (o especialización ) es el acto de tomar un límite de una familia de variedades. Precisamente, dado un morfismo

forman una familia de variedades sobre C . Entonces la fibra puede considerarse como el límite de as . Se dice entonces que la familia degenera a la fibra especial . El proceso limitante se comporta bien cuando es un morfismo plano y, en ese caso, la degeneración se llama degeneración plana . Muchos autores asumen que las degeneraciones son planas.${\ estilo de visualización \ pi ^ {-1} (0)}$${\displaystyle \pi ^{-1}(t)}$${\displaystyle t\to 0}$${\displaystyle \pi ^{-1}(t),t\neq 0}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(0)}$${\displaystyle \pi }$

Cuando la familia es trivial se aleja de una fibra especial; es decir, es independiente de hasta isomorfismos (coherentes), se denomina fibra general.${\displaystyle \pi ^{-1}(t)}$${\displaystyle \pi ^{-1}(t)}$${\displaystyle t\neq 0}$${\displaystyle \pi ^{-1}(t),t\neq 0}$

En el estudio de módulos de curvas , el punto importante es comprender los límites de los módulos, lo que equivale a comprender las degeneraciones de las curvas.

Sea D = k [ ε ] el anillo de números duales sobre un cuerpo k y Y un esquema de tipo finito sobre k . Dado un subesquema cerrado X de Y , por definición, una deformación infinitesimal incrustada de primer orden de X es un subesquema cerrado X ' de Y × _{Spec( k )} Spec( D ) tal que la proyección X ' → Spec  D es plana y tiene X como la fibra especial.

Si Y = Spec A y X = Spec( A / I ) son afines, entonces una deformación infinitesimal incrustada equivale a un ideal I ' de A [ ε ] tal que A [ ε ]/ I ' es plano sobre D y la imagen de I ' en A = A [ ε ]/ ε es I .

---