En álgebra lineal , el determinante de Dieudonné es una generalización del determinante de una matriz a matrices sobre anillos de división y anillos locales . Fue introducido por Dieudonné ( 1943 ).
Si K es un anillo de división, entonces el determinante de Dieudonné es un homomorfismo de grupos del grupo GL n ( K ) de matrices n por n invertibles sobre K sobre la abelianización K × / [ K × , K × ] del grupo multiplicativo K × de K .
Por ejemplo, el determinante de Dieudonné para una matriz de 2 por 2 es
Propiedades
Sea R un anillo local. Existe un mapa determinante desde el anillo de matriz GL ( R ) hasta el grupo unitario abelianizado R × ab con las siguientes propiedades: [1]
- El determinante es invariante en operaciones de fila elementales
- El determinante de la identidad es 1
- Si se deja una fila multiplicada por a en R ×, entonces el determinante se deja multiplicado por a
- El determinante es multiplicativo: det ( AB ) = det ( A ) det ( B )
- Si se intercambian dos filas, el determinante se multiplica por −1
- Si R es conmutativo, entonces el determinante es invariante bajo transposición
Problema de Tannaka-Artin
Supongamos que K es finita sobre su centro F . La norma reducida da un homomorfismo N n de GL n ( K ) a F × . También tenemos un homomorfismo de GL n ( K ) a F × obtenido al componer el determinante de Dieudonné de GL n ( K ) a K × / [ K × , K × ] con la norma reducida N 1 de GL 1 ( K ) = K × a F × a través de la abelianización.
El problema de Tannaka-Artin es si estos dos mapas tienen el mismo núcleo SL n ( K ). Esto es cierto cuando F es localmente compacto [2] pero falso en general. [3]
Ver también
Referencias
- ^ Rosenberg (1994) p.64
- ^ Nakayama, Tadasi; Matsushima, Yozô (1943). "Über die multiplikative Gruppe einer p-adischen Divisionsalgebra" . Proc. Diablillo. Acad. Tokio (en alemán). 19 : 622–628. doi : 10.3792 / pia / 1195573246 . Zbl 0060.07901 .
- ^ Platonov, vicepresidente (1976). "El problema de Tannaka-Artin y la teoría K reducida". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Estera. (en ruso). 40 : 227-261. Zbl 0338.16005 .
- Dieudonné, Jean (1943), "Les déterminants sur un corps non commutatif", Bulletin de la Société Mathématique de France , 71 : 27–45, doi : 10.24033 / bsmf.1345 , ISSN 0037-9484 , MR 0012273 , Zbl 0028.33904
- Rosenberg, Jonathan (1994), Teoría K algebraica y sus aplicaciones , Textos de posgrado en matemáticas , 147 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94248-3, MR 1282290 , Zbl 0.801,19001. Errata
- Serre, Jean-Pierre (2003), Árboles , Springer, pág. 74, ISBN 3-540-44237-5, Zbl 1013.20001
- Suprunenko, DA (2001) [1994], "Determinante" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press