Cantidad adimensional

Cantidad cuya dimensión física asociada es una

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En el análisis dimensional , una cantidad adimensional es una cantidad a la que no se le asigna ninguna dimensión física, también conocida como una cantidad desnuda, pura o escalar o una cantidad de dimensión uno, ^[1] con una unidad de medida correspondiente en el SI del país. unidad uno (o 1 ), ^{[2] [3]} que no se muestra explícitamente. Las cantidades adimensionales se utilizan ampliamente en muchos campos, como las matemáticas , la física , la química , la ingeniería y la economía.. Las cantidades adimensionales son distintas de las cantidades que tienen dimensiones asociadas, como el tiempo (medido en segundos ).

Historia

Ver también: Análisis dimensional § Historia

Las cantidades que tienen dimensión uno, cantidades adimensionales , ocurren regularmente en las ciencias y se tratan formalmente dentro del campo del análisis dimensional . En el siglo XIX, el matemático francés Joseph Fourier y el físico escocés James Clerk Maxwell lideraron desarrollos significativos en los conceptos modernos de dimensión y unidad . El trabajo posterior de los físicos británicos Osborne Reynolds y Lord Rayleigh contribuyó a la comprensión de los números adimensionales en física. Basándose en el método de análisis dimensional de Rayleigh, Edgar Buckingham demostró el teorema π(independientemente del trabajo anterior del matemático francés Joseph Bertrand ) para formalizar la naturaleza de estas cantidades. ^[4]

Numerosos números adimensionales, en su mayoría proporciones, se acuñaron a principios del siglo XX, particularmente en las áreas de mecánica de fluidos y transferencia de calor . La medición de relaciones en la unidad (derivada) dB ( decibel ) encuentra un uso generalizado en la actualidad.

A principios de la década de 2000, el Comité Internacional de Pesas y Medidas discutió nombrar la unidad de 1 como " uno ", pero se abandonó la idea de simplemente introducir un nuevo nombre SI para 1. ^{[5] [6] [7]}

Razones, proporciones y ángulos

Las cantidades adimensionales se obtienen a menudo como relaciones de cantidades que no son adimensionales, pero cuyas dimensiones se anulan en la operación matemática. ^{[8] Los} ejemplos incluyen el cálculo de pendientes o factores de conversión de unidades . Un ejemplo más complejo de tal relación es la deformación de ingeniería , una medida de deformación física definida como un cambio de longitud dividido por la longitud inicial. Dado que ambas cantidades tienen la dimensión longitud , su relación es adimensional. Otro conjunto de ejemplos son las fracciones de masa o fracciones molares que a menudo se escriben con notación de partes por , como ppm (= 10⁻⁶ ), ppb (= 10 ⁻⁹ ) y ppt (= 10 ⁻¹² ), o quizás de manera confusa como proporciones de dos unidades idénticas ( kg / kg o mol / mol). Por ejemplo, el alcohol por volumen , que caracteriza la concentración de etanol en una bebida alcohólica , podría escribirse como mL / 100 mL .

Otras proporciones comunes son porcentajes %  (= 0.01),   ‰  (= 0.001) y unidades angulares como radianes , grados (° = π/180) y grad (= π/200). En estadística, el coeficiente de variación es la relación entre la desviación estándar y la media y se utiliza para medir la dispersión en los datos .

Se ha argumentado que las cantidades definidas como relaciones Q = A / B que tienen dimensiones iguales en numerador y denominador son en realidad solo cantidades sin unidades y todavía tienen una dimensión física definida como dim Q = dim A × dim B ⁻¹ . ^[9] Por ejemplo, el contenido de humedad puede definirse como una relación de volúmenes (humedad volumétrica, m ³ ⋅m ⁻³ , dimensión L ³ ⋅L ⁻³ ) o como una relación de masas (humedad gravimétrica, unidades kg⋅kg ^{- 1} , dimensión M⋅M ⁻¹); ambos serían cantidades sin unidades, pero de diferente dimensión.

Teorema π de Buckingham

Artículo principal: teorema π de Buckingham

El teorema π de Buckingham indica que la validez de las leyes de la física no depende de un sistema de unidades específico. Un enunciado de este teorema es que cualquier ley física puede expresarse como una identidad que implica solo combinaciones adimensionales (razones o productos) de las variables vinculadas por la ley (por ejemplo, la presión y el volumen están vinculados por la ley de Boyle, son inversamente proporcionales). Si los valores de las combinaciones adimensionales cambiaran con los sistemas de unidades, entonces la ecuación no sería una identidad y el teorema de Buckingham no se mantendría.

Otra consecuencia del teorema es que la dependencia funcional entre un cierto número (digamos, n ) de variables se puede reducir por el número (digamos, k ) de dimensiones independientes que ocurren en esas variables para dar un conjunto de p = n - k independientes , cantidades adimensionales . Para los propósitos del experimentador, los diferentes sistemas que comparten la misma descripción por cantidad adimensional son equivalentes.

Ejemplo

Para demostrar la aplicación de la π teorema, considerar la potencia de consumo de un agitador con una forma dada. La potencia, P , en dimensiones [M · L ² / T ³ ], es función de la densidad , ρ [M / L ³ ], y la viscosidad del fluido a agitar, μ [M / (L · T )], así como el tamaño del agitador dado por su diámetro , D [L], y la velocidad angular del agitador, n [1 / T]. Por lo tanto, tenemos un total de n= 5 variables que representan nuestro ejemplo. Esas n = 5 variables se construyen a partir de k = 3 dimensiones fundamentales, la longitud: L ( unidades SI : m ), el tiempo: T ( s ) y la masa: M ( kg ).

De acuerdo con el teorema π , las n = 5 variables pueden reducirse en k = 3 dimensiones para formar p = n - k = 5 - 3 = 2 números adimensionales independientes. Por lo general, estas cantidades se eligen como el número de Reynolds, que describe el régimen de flujo del fluido, y el número de potencia , que es la descripción adimensional del agitador.${\textstyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho nD^{2}}{\mu }}}$${\textstyle N_{\mathrm {p} }={\frac {P}{\rho n^{3}D^{5}}}}$

Tenga en cuenta que las dos cantidades adimensionales no son únicas y dependen de cuál de las n = 5 variables se eligen como k = 3 variables de base independientes, que aparecen en ambas cantidades adimensionales. El número de Reynolds y el número de potencia caen del análisis anterior si , n y D se eligen como variables de base. Si, en cambio, se seleccionan , n y D , el número de Reynolds se recupera mientras que la segunda cantidad adimensional se convierte en . Observamos que es el producto del número de Reynolds y el número de potencia.${\textstyle \rho }$${\textstyle \mu }$${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }={\frac {P}{\mu D^{3}n^{2}}}}$${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }}$

Constantes físicas adimensionales

Artículo principal: Constante física adimensional

Ciertos constantes físicas dimensionados universales, tales como la velocidad de la luz en el vacío, la constante de gravitación universal , la constante de Planck , la constante de Coulomb , y la constante de Boltzmann pueden normalizarse a 1 si las unidades apropiadas para tiempo , longitud , masa , carga , y la temperatura son elegido. El sistema de unidades resultante se conoce como unidades naturales , específicamente con respecto a estas cinco constantes, unidades de Planck . Sin embargo, no todas las constantes físicaspuede normalizarse de esta manera. Por ejemplo, los valores de las siguientes constantes son independientes del sistema de unidades, no se pueden definir y solo se pueden determinar experimentalmente: ^[10]

• α ≈ 1/137, la constante de estructura fina , que caracteriza la magnitud de la interacción electromagnética entre electrones.
• β (o μ ) ≈ 1836, la relación de masa de protón a electrón . Esta relación es la masa en reposo del protón dividida por la del electrón . Se puede definir una relación análoga para cualquier partícula elemental ;
• α _s ≈ 1, una constante que caracteriza la fuerte fuerza de acoplamiento de la fuerza nuclear ;
• La relación de la masa de cualquier partícula elemental dada a la masa de Planck , .${\displaystyle {\sqrt {\hbar c/G}}}$

Otras cantidades producidas por no dimensionalización

Artículo principal: Lista de cantidades adimensionales

La física a menudo usa cantidades adimensionales para simplificar la caracterización de sistemas con múltiples fenómenos físicos que interactúan. Estos se pueden encontrar aplicando el teorema π de Buckingham o pueden surgir de hacer ecuaciones diferenciales parciales sin unidades mediante el proceso de no dimensionalización . La ingeniería, la economía y otros campos a menudo amplían estas ideas en el diseño y análisis de los sistemas relevantes.

Física e ingeniería

• Número de Fresnel - número de onda sobre la distancia
• Número de Mach : relación entre la velocidad de un objeto o flujo en relación con la velocidad del sonido en el fluido.

Más información: números adimensionales en mecánica de fluidos

• Beta (física del plasma) : relación entre la presión del plasma y la presión magnética, que se utiliza en la física magnetosférica y en la física del plasma de fusión.
• Números de Damköhler (Da): se utilizan en ingeniería química para relacionar la escala de tiempo de la reacción química (velocidad de reacción) con la velocidad de los fenómenos de transporte que ocurren en un sistema.
• Módulo de Thiele : describe la relación entre la difusión y la velocidad de reacción en gránulos de catalizador poroso sin limitaciones de transferencia de masa.
• Apertura numérica : caracteriza el rango de ángulos sobre los cuales el sistema puede aceptar o emitir luz.
• Número de Sherwood (también llamado número de Nusselt de transferencia de masa ) es un número adimensional que se utiliza en la operación de transferencia de masa. Representa la relación entre la transferencia de masa por convección y la tasa de transporte de masa por difusión.
• Número de Schmidt : definido como la relación entre la difusividad del momento (viscosidad cinemática) y la difusividad de la masa, y se utiliza para caracterizar los flujos de fluidos en los que hay procesos simultáneos de convección por difusión del momento y la masa.
• El número de Reynolds se usa comúnmente en mecánica de fluidos para caracterizar el flujo, incorporando tanto las propiedades del fluido como del flujo. Se interpreta como la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas y puede indicar el régimen de flujo, así como correlacionarse con el calentamiento por fricción en la aplicación al flujo en tuberías. ^[11]

Química

• Densidad relativa - densidad relativa al agua
• Masa atómica relativa , peso atómico estándar
• Constante de equilibrio (que a veces es adimensional)

Otros campos

• El costo del transporte es la eficiencia en el traslado de un lugar a otro.
• La elasticidad es la medida del cambio proporcional de una variable económica en respuesta a un cambio en otra.

Ver también

• Unidad arbitraria
• Análisis dimensional
• Normalización (estadística) y momento estandarizado , los conceptos análogos en estadística
• Órdenes de magnitud (números)
• Similitud (modelo)

Referencias

1. " 1.8 (1.6) cantidad de dimensión una cantidad adimensional" . Vocabulario internacional de metrología - Conceptos básicos y generales y términos asociados (VIM) . ISO . 2008 . Consultado el 22 de marzo de 2011 .
2. "Folleto de SI: el sistema internacional de unidades (SI)" . BIPM . Consultado el 22 de noviembre de 2019 .
3. Mohr, Peter J .; Phillips, William D. (1 de junio de 2015). "Unidades adimensionales en el SI" . Metrologia . 52 .
4. Buckingham, E. (1914). "En sistemas físicamente similares; ilustraciones del uso de ecuaciones dimensionales" . Revisión física . 4 (4): 345–376. Código bibliográfico : 1914PhRv .... 4..345B . doi : 10.1103 / PhysRev.4.345 . hdl : 10338.dmlcz / 101743 .
5. "Comité consultivo de BIPM para unidades (CCU), 15ª reunión" (PDF) . 17-18 de abril de 2003. Archivado desde el original (PDF) el 30 de noviembre de 2006 . Consultado el 22 de enero de 2010 .
6. "Comité consultivo de BIPM para unidades (CCU), 16ª reunión" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 30 de noviembre de 2006 . Consultado el 22 de enero de 2010 .
7. Dybkaer, René (2004). "Una ontología sobre la propiedad de los sistemas físicos, químicos y biológicos" . APMIS Supl. (117): 1–210. PMID 15588029 . 
8. http://web.mit.edu/6.055/old/S2008/notes/apr02a.pdf
9. Johansson, Ingvar (2010). "El pensamiento metrológico necesita las nociones de cantidades, unidades y dimensiones paramétricas". Metrologia . 47 (3): 219–230. Código bibliográfico : 2010Metro..47..219J . doi : 10.1088 / 0026-1394 / 47/3/012 . ISSN 0026-1394 . 
10. Baez, John (22 de abril de 2011). "¿Cuántas constantes fundamentales hay?" . Consultado el 7 de octubre de 2015 .
11. Huba, JD (2007). "Formulario de plasma NRL: números adimensionales de mecánica de fluidos" . Laboratorio de Investigaciones Navales . Consultado el 7 de octubre de 2015 . pag. 23-25

Enlaces externos

• Medios relacionados con los números adimensionales en Wikimedia Commons